10.2.1 复数的加法与减法-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

10．2.1　复数的加法与减法 学业标准 素养目标 1.掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算． 2．理解复数加减法运算的几何意义，并能应用其解决相关的问题．(重点、难点) 1.通过复数的加法与减法的学习，提升数学运算核心素养． 2. 通过复数加法和减法运算几何意义的学习，培养直观想象、数学抽象核心素养. [教材梳理] 导学1 复数的加法与减法运算 　多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ [提示]　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 　复数的加法满足交换律和结合律吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 复数的加法与减法 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)加法运算律： 设z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 导学2 复数加减法的几何意义 　如图1，2分别与复数a＋bi，c＋di对应． 试写出1，2及1＋2，1－2的坐标． [提示]　1＝(a，b)，2＝(c，d)，1＋2＝(a＋c，b＋d)，1－2＝(a－c，b－d)． 　向量1＋2，1－2对应的复数分别是什么？ [提示]　向量1＋2对应的复数是(a＋c)＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量1－2对应的复数是(a－c)＋(b－d)i，也就是z1－z2. ◎结论形成 复数加法、减法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量分别为1，2，且1与2不共线. 复数加法的几何意义 (1)意义：复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数； (2)结论：||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. 复数减 法的几 何意义 (1)意义：复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数； (2)结论：||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　) (4)若复数z1－z2>0，则z1>z2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　 2．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．－2　　　 D．－1 解析　依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1. 答案　A 3．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝(　　) A．3 B．4 C．2 D．1 解析　∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，由复数相等的充要条件知解得∴a＋b＝3. 答案　A 4．设a，b∈R，(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0，那么复数a＋bi的模为(　　) A．0 B．6 C．3 D．2 解析　因为(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0， 所以(5＋b－2)＋(b－3－a)i＝0， ∵a，b∈R， ∴解得 ∴a＋bi＝－6－3i. ∴|a＋bi|＝|－6－3i| ＝ ＝3. 答案　C 　计算： (1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)． [解析]　(1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i] ＝[－－(－)]＋[－(＋)]i ＝－－i. (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝[(a＋b)－(a－b)]＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. [规律方法] 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行. [触类旁通] 1．计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)． 解析　(1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i) ＝(3－7i)－(3＋4i) ＝(3－3)＋(－7－4)i ＝－11i. (2)原式＝(－1＋i)＋1＋(1＋i) ＝(－1＋1＋1)＋i(1＋1) ＝1＋2i. 　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0,3＋2i，－2＋4i. 求：(1)表示的复数； (2)表示的复数； (3)表示的复数． [解