10.1.2 复数的几何意义-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

10.1.2　复数的几何意义 学业标准 素养目标 1.理解复平面、实轴、虚轴等概念． 2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、难点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．(重点) 1.通过学习复数的几何意义，培养直观想象核心素养． 2．借助于复数的模和共轭复数的计算，培养数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1 复平面 　实数与数轴上的点有什么对应关系？ [提示]　一一对应． 　有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． ◎结论形成 复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面．在复平面内，x轴称为实轴，y轴称为虚轴. 导学2 复数的几何意义 　平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应． 　复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？ [提示]　能一一对应． ◎结论形成 复数的几何意义 复数z＝a＋bi向量＝(a，b)点Z(a，b). 导学3 共轭复数与复数的模 　向量＝(a，b)的模如何计算？ [提示]　||＝. 　设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为z1，则点z1关于实轴的对称点z2所对应的复数是什么？ [提示]　a－bi. ◎结论形成 1．共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi时，有＝a－bi，任一实数的共轭复数仍是它本身． 2．复数的模 (1)定义 向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝|a＋bi|＝. (2)共轭复数的模 两个共轭复数的模相等，即|z|＝||. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的模一定是正实数．(　　) (2)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　　) (3)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为(　　) A．(1，i)　　　　　 B．(1，－i) C．(1,1) D．(1，－1) 解析　复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1， 故其对应的坐标为(1，－1)． 答案　D 3．已知复数z＝3＋2i，则＝________；|z|＝________. 解析　∵z＝3＋2i，∴＝3－2i，|z|＝＝. 答案　3－2i　 4．如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则|z|＝________. 解析　由图可知对应的复数z＝2－i， 故|z|＝＝. 答案　 　当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上； (2)y轴负半轴上；(3)第四象限的角平分线上． [解析]　∵k∈R，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是实数， ∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)． (1)由题意得解得k＝6. ∴k＝6时，复数z对应的点在x轴的正半轴上． (2)由题意得解得k＝4. ∴k＝4时，复数z对应的点位于y轴的负半轴上． (3)由题意得 解得k＝5. ∴k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的角平分线上． [规律方法] 求解此类问题，应根据点的位置，确定复数的实部和虚部满足的条件，然后列方程组或不等式组求解. [触类旁通] 1．当实数m取何值时，复平面内表示复数z＝m2－2m＋mi的点分别满足下列条件． (1)位于虚轴上； (2)位于第二象限； (3)位于直线－x＋y－2＝0上． 解析　(1)因为表示复数z＝m2－2m＋mi的点在虚轴上，故m2－2m＝0，故m＝0或m＝2. (2)因为表示复数z＝m2－2m＋mi的点位于第二象限，故故0<m<2. (3)因为表示复数z＝m2－2m＋mi的点位于直线－x＋y－2＝0上， 故－m2＋2m＋m－2＝0， 即m2－3m＋2＝0，故m＝1或m＝2. 　在复平面内，复数6＋5i与－3＋4i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量，所对应的复数． [解析]　由已知条件可知向量的坐标为(6,5)，向量的坐标为(－3,4)，所以向量＝－＝(－3,4)－(6,5)＝(－9，－1)， 即向量的坐标为(－9，－1)， 所以向量对应的复数为－9－i. 因为向量＝－＝－(－9，－1)＝(9,1)． 所以向量的坐标为(9,1)， 因此向量对应的复数为9＋i. [方法归纳] (1)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． (2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离