10.1.1 复数的概念-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

　复数及其几何意义 10．1.1　复数的概念 学业标准 素养目标 1.了解数集的扩充过程和引进复数的必要性． 2．理解复数及其相关概念，明确复数的分类．(重点) 3．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(难点) 1.通过复数概念的学习，提升数学抽象核心素养． 2．通过复数相等及应用的学习，培养逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1 复数的概念及代数表示 　方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示]　没有． 　若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？ [提示]　有解(x＝±i)，但不在实数范围内． ◎结论形成 1．虚数单位：为了使得方程x2＝－1有解，规定i的平方等于－1，即i2＝－1，称i为虚数单位． 2．复数：当a，b都是实数时，称a＋bi为复数． 3．复数的表示 复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部. 导学2 复数的分类与复数相等 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？ [提示]　b＝0时，z＝a为实数． 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？ [提示]　当a＝0，b≠0时，z＝bi，这样的数我们称为纯虚数． 　3＋2i＞3＋i正确吗？ [提示]　不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． ◎结论形成 1．复数的分类 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 2．复数相等的充要条件 如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c，且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0，且b＝0. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．(　　) (3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　) A．a＝0⇒a＋bi为纯虚数 B．b＝0⇒a＋bi为实数 C．a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝－3 D．－1的平方等于i 解析　当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A错误；当b＝0时，a＋bi为实数，故B正确；a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝3，故C错误；(－1)2＝1，故D错误． 答案　B 3．(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1　　　 B．－1　　　　 C．2　　　 D．－2 解析　因为a－1＋(a－2)i是实数， 所以a－2＝0，所以a＝2.故选C. 答案　C 4．已知(x＋y－3)＋(y－4)i＝0，其中x，y∈R，i是虚数单位，则x＝(　　) A．1　　　 B．－1　　　　 C．7　　　 D．－7 解析　∵x，y∈R，∴由(x＋y－3)＋(y－4)i＝0，得解得 答案　B 　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时： (1)z∈R? (2)z是虚数？ (3)z是纯虚数？ [解析]　(1)m2＋2m－1＝0且m－1≠0， 即m＝－1±时，z为实数； (2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0. 即m≠－1±且m≠1时，z为虚数； (3)当＝0且m2＋2m－1≠0， 即m＝0或－2时，z为纯虚数． [规律方法] 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，同时求解参数时，应注意参数本身的取值范围，如分母不能为0. [触类旁通] 1．已知复数z＝3m2－7m＋2＋i. (1)若z为实数，求m的值； (2)若z为纯虚数，求m的值． 解析　(1)由题意得2m2－5m＋2＝0，得m＝2或m＝. (2)由题意得解得m＝. 　已知关于x的方程x2＋x＋3m－(2x＋1)i＝0有实数根，求实数m的值及该实根． [解析]　设方程的实根为t， 则t2＋t＋3m－(2t＋1)i＝0； 由复数相等，得解得 所以实数m＝，方程的实根为－. [规律方法] 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． [触类旁通] 2．已知实数x满足－x2－x＋2xi＝m＋i，则实数m的值为(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析　由题意得所以 故选D. 答案　D 题型三　两个复数比较大小 一题多变 　若不等式m2－(m2－2m)i<9＋i成立，则实数m的值为________． [解析]　依题意可得 即解得m＝2. [答