第11章 解三角形 章末达标检测（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

(时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－　 B．－　 C．－　 D．－ 解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－. 答案　C 2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝(　　) A． B．8－4 C．1 D． 解析　由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝. 答案　A 3．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　) A．4 B．1 C． D． 解析　由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝6.∴＝＝2··cos A＝2××＝2××＝1，故选B． 答案　B 4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　) A． B．2 C．4 D．8 解析　设AB＝c，BC＝a，CA＝b. c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋16－2×3×4×＝9， ∴c＝3.cosB＝＝， ∴sin B＝＝. ∴tan B＝4. 答案　C 5．设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100 m,50 m．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m 解析　如图，由题可知∠MPM1＝30°，∠NPN1＝45°， ∴PM＝200，PN＝50， 又∠MPN＝45°， ∴MN2＝40 000＋5000－2×200×50×＝25 000， ∴MN＝50 m．故选A． 答案　A 6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析　设△ABC的外接圆半径为R，根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，又B∈(0，π)，故B＝. 答案　C 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为(　　) A．18 B．16 C．20 D．15 解析　在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，所以bc×＝3，即bc＝24.由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×＝b2＋c2＋bc，联立得，得， 则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A． 答案　A 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin A，且B>，则sin A＋sin C的最大值是(　　) A． B． C．1 D． 解析　因为＝＝，所以sin B＝cos A＝sin，因为B>，所以B＝＋A，所以sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋，所以当sin A＝时，sin A＋sin C取最大值，为. 答案　B 二、选择题：0本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，A>B，则sin A>sin B B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析　根据正弦定理及其变形，A，B，D均正确，而命题C中，在△ABC中，由acos A＝bcos B， 利用正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)， ∴2A＝2B或2A＝2π－2B， ∴A＝B或A＋B＝，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此C是假命题． 答案　ABD 10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sinsin＋sin2B．则角A＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为sin2A＝sinsin＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝， 所以