13.2.4 课时2 两平面垂直（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 解析　异面直线所成的角α的范围为0°<α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角． 答案　B 2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 解析　反例：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补． 答案　D 3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　) A．直线a必垂直于平面β B．直线b必垂直于平面α C．直线a不一定垂直于平面β D．过a的平面与过b的平面垂直 解析　α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C． 答案　C 4．如图所示，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是________．(填序号) ①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABC⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE. 解析　由AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE.又DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BDE，从而AC⊥平面BDE，故③正确． 答案　③ 5．如图，四边形BCDE是正方形，AB⊥面BCDE，则图中所示7个平面中，有________对平面互相垂直． 解析　因为AB⊥面BCDE， 所以面ABE⊥面BCDE，面ABC⊥面BCDE，面ABD⊥面BCDE，且AB⊥BC，AB⊥CE，AB⊥CD． 又四边形BCDE是正方形，所以BC⊥BE. 所以BC⊥面ABE. 所以面ABC⊥面ABE. 又因为DE∥BC，所以DE⊥面ABE. 故面ADE⊥面ABE. 又CD⊥BC，所以CD⊥面ABC． 所以面ACD⊥面ABC． 又CE⊥BD，所以CE⊥面ABD． 故面ACE⊥面ABD． 答案　7 6．(10分)已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点． 求证：平面MND⊥平面PCD． 证明　如图，取PD的中点E，连接AE，NE， ⇒EN綊AM ⇒四边形AMNE是平行四边形⇒MN∥AE. ⇒平面MND⊥平面PCD． [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：20分) 7．如图所示，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析　由题设可知DF∥BC，所以BC∥平面PDF，所以A正确；因为DF∥BC，BC⊥AE，所以AE⊥DF，又PE⊥BC，所以PE⊥DF，故DF⊥平面PAE，故B正确；因为DF⊥平面PAE，DF⊂平面PDF，所以平面PDF⊥平面PAE，C也是正确的．应选D． 答案　D 8．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．又AB⊥AD，∴DB＝. 取OB的中点N，连接MN，CN， ∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴MN⊥CN. ∴MN2＝CM2－CN2＝CM2－(CO2＋ON2)， ∴CM＝＝. 答案　C 9．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1­EF­C等于45°，则BF＝________. 解析　由题意知EF⊥BC．∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1­EF­C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1. 答案　1 10．如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)． ①PB