13.2.3 课时2 直线与平面垂直（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．如果一条直线垂直于一个平面内的________，则能保证该直线与平面垂直．(　　) ①三角形的两边　②梯形的两边　③圆的两条直径　④正六边形的两条边 A．①③　　　　　　　 B．② C．②④ D．①②④ 解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直． 答案　A 2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能 解析　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面． 答案　D 3．(2022·北京卷)已知正三棱锥P­ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) A． B．π C．2π D．3π 解析　 过点P作底面射影点O，则由题意，CO＝2，PC＝6， ∴PO＝2，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在QO为半径，O为圆心的圆里，所以面积为π. 答案　B 4．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________． 解析　因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°. 答案　45° 5．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条． 解析　∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC．又AC⊥BO，PO∩BO＝O，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，∴图中共有4条直线与AC垂直． 答案　4 6．(10分)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 解析　(1)AB⊥平面AA1D1D ⇒∠AA1B为A1B与平面AA1D1D所成的角 ⇒∠AA1B＝45°， 即A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO ⇒A1O⊥平面BB1D1D ⇒∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：20分) 7．(多选)如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．对于选项D，AB与SC所成的角为锐角∠SCD，DC与SA所成角为90°，故D错误． 答案　ABC 8．如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是(　　) A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．两条平行直线 D．半圆，但要去掉两个点 解析　连接BC，由于PC⊥AC．PB⊥AC， 所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合． 答案　B 9．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是________． 解析　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 答案　60° 10．在三棱锥O­ABC中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点P，Q分别是棱AB，OB的中点，且PQ⊥CQ，则＝________. 解析　因为P，Q分别为AB，OB的中点， 所以PQ∥AO，又PQ⊥CQ，所以AO⊥CQ， 又由已知得三棱锥O­ABC为