9.4 向量应用（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　) A．菱形　　　　　　　 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 解析　由题意知a－b＝d－c，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形． 答案　D 2．已知一条两岸平行的河流河水的流速大小为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向大小为10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 解析　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，所以v2＝v－v1，v·v1＝0，所以|v2|＝＝2 (m/s)． 答案　B 3．(多选)在△ABC中，下列四个命题正确的是(　　) A．－＝ B．＋＋＝0 C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形 D．若·>0，则△ABC为锐角三角形 解析　因为－＝＝－≠，所以A错误.＋＋＝＋＝－＝0，所以B正确．由(＋)·(－)＝2－2＝0，得||＝||，所以△ABC为等腰三角形，C正确.·>0⇒cos A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以D错误． 答案　BC 4．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________． 解析　如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 答案　10 N 5．已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a＝(1,2)垂直，则点M的坐标x，y之间的关系为________． 解析　·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0. 又A与M不重合，所以x≠1. 答案　x＋2y－3＝0(x≠1) 6．(10分)已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE. 证明　以C为原点，方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． 设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)， D，C(0,0)，E. 因为＝，＝. 所以·＝－a·a＋·a＝0， 所以⊥，即AD⊥CE. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：20分) 7．在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为(　　) A．1　　 B．　　 C．　　 D． 解析　设AB的长为a(a>0)， 因为＝＋， ＝＋＝－， 所以·＝(＋)·(－)＝·－2＋2＝－a2＋a＋1. 由已知，得－a2＋a＋1＝1. 又因为a>0，所以a＝，即AB的长为. 答案　B 8．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．以上均有可能 解析　∵·＝0， ∴∠A的平分线所在的直线与BC垂直， ∴△ABC为等腰三角形．又·＝， ∴cos A＝，∴A＝.故△ABC为等边三角形． 答案　C 9．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它的对斜面压力的0.5 倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为__________ J，重力所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)． 解析　物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|·cos 90°＝0(J)； 重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)． 答案　0　98 10．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________. 解析　＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－. 答案　－ [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点． (1)若△ABC是直角三角形，求t的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值． 解析　(1)由题意得，＝(t－4,2)，＝(2，t)， ＝(6－t，t－2)， 若∠A＝90°，则·＝0， 即2(t－4)＋2t＝0， ∴t＝2； 若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，∴t＝6±2； 若∠C＝90°，则·＝0， 即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解， ∴t的值为2或6±2. (2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝， 设点D的坐标