9.3.2 课时2 向量数量积的坐标表示（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　) A．－12　　 B．－6　　 C．6　　 D．12 解析　2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， 所以10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案　D 2．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中不正确的是(　　) A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．(a－b)⊥b D．a∥b 解析　因为a＝(2,0)，b(1,1)， 所以|a|＝2，|b|＝，故|a|≠|b|，A错误． a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；因为a－b＝(1，－1)， 所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0， 所以(a－b)⊥b，故C正确．因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误． 答案　ABD 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，若a⊥b，则m的值为(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 解析　因为向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，a⊥b，所以a·b＝－1＋2m＝0，解得m＝. 答案　C 4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________. 解析　b＝a＋(－1，－1)＝(1,1)，a·b＝6. 又|a|＝3，|b|＝，所以cos θ＝＝＝1. 答案　1 5．(2021·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________. 解析　由题意得(a－λb)·b＝0，即15－25λ＝0.解得λ＝. 答案　 6．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)． (1)求a－b及|a－b|； (2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值． 解析　(1)a－b＝(4,0)，|a－b|＝＝4. (2)ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－b＝(4,0)， 因为ka＋b与a－b垂直， 所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，解得k＝3. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：20分) 7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　由a·b＝－10， 得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝， ∴c·a＝－. 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. ∵0°≤0≤180°，∴θ＝120°. 答案　C 8．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 解析　设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)． ·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以当x＝3时，·有最小值1. 此时点P的坐标为(3,0)． 答案　C 9．(一题多解)已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值为________． 解析　法一(定义法)　如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝， 所以·＋·＋· ＝·＋· ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15× ＝－25. 法二(坐标法)　如图，建立平面直角坐标系， 则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)． 所以＝(－3,0)，＝(0,4)，＝(3，－4)． 所以·＝－3×0＋0×4＝0， ·＝0×3＋4×(－4)＝－16， ·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9. 所以·＋·＋·＝0－16－9＝－25. 法三(转化法)　因为||＝3，||＝4，||＝5， 所以AB⊥BC，所以·＝0， 所以·＋·＋·＝·(＋)＝·＝－||2＝－25. 答案　－25 10．已知向量a＝(1，)，b＝(0,1＋t2)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是________． 解析　a－t＝(1，)－t ＝(1，)－(0，t)＝(1，－t)． ∴＝， ∴当t＝时，最小＝1. 当t＝－时，最大＝＝. 故所求取值范围为[1, ]． 答案　[1，] [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：10分) 11．如图，在△ABC中，·＝0，||＝8，||＝6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点． (1)求·的值； (2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由． 解析　(1)以点D为坐标原点，BC所在直