9.2.3 向量的数量积（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系．若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B． 答案　B 2．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b　　　　　　　 B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 解析　由已知可得：a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝1×1×＝.A：因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×1＝≠0，所以本选项不符合题意； B：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，所以本选项不符合题意；C：因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2×1＝－≠0，所以本选项不符合题意；D：因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，所以本选项符合题意． 答案　D 3．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．4e B．－4e C．2e D．－2e 解析　向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e. 答案　D 4．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________. 解析　设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－. 答案　－ 5．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________． 解析　·＝||||cos∠BAC， 即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝， 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 答案　等边三角形 6．(10分)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值． 解析　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9， 所以|a|＝3， b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8， 所以|b|＝2， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8， 所以cos β＝＝＝. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：20分) 7．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　) A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析　由＋＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形． 答案　C 8．(多选)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，下列命题正确的是(　　) A．|a＋b|>1⇔θ∈ B．|a＋b|>1⇔θ∈ C．|a－b|>1⇔θ∈ D．|a－b|>1⇔θ∈ 解析　因为|a＋b|>1，即|a|2＋2a·b＋|b|2>1，可得a·b>－，即|a||b|cos θ＝cos θ>－，故θ∈，所以A正确，B错误．因为|a－b|>1，即|a|2－2a·b＋|b|2>1，可得a·b<，即|a||b|cos θ＝cos θ<，故θ∈，所以D正确，C错误．故选A、D． 答案　AD 9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的最小值为________，最大值为________． 解析　∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1. 答案　0　1 10．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝__________. 解析　由＝2， 所以＝，＝－， 故·＝(＋)· ＝[＋(－)]·(－) ＝·(－) ＝·＋2－2 ＝||||cos 120°＋||2－||2 ＝×2×1×＋×1－×22＝－. 答案　－ [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2. (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值． 解析　(1)因为四边形ABCD