9.2.2 向量的数乘（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有(　　) A．a与－λa的方向相反 |B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ|·|a| 解析　当λ＝－1时，a与－λa同向，故A不对； 当λ＝－时，|－λa|<|a|，故B不对； 当λ≠0时，a与λ2a同向，故C对； 显然D对，故选C，D． 答案　CD 2．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，AC与BD相交于点O，点M在AB上，且＋3＝0，则向量＝(　　) A．－a－b　　 B．a＋b C．－a－b D．a＋b 解析　如图，∵＋3＝0，∴＝－3， ∴＝. 又＝＋， ∴＝＋＝－－＋＝－－＝－a－b.故选A． 答案　A 3．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　) A．k＝m B．km－1＝0 C．km＋1＝0 D．k＋m＝0 解析　若A，B，C三点共线，则与共线， 所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb， 所以 所以km＝1，即km－1＝0. 答案　B 4．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________________. 解析　由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案　4b－3a 5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________． 解析　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3. 答案　－1或3 6．(10分)已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b. (1)若2－＋＝0，求k的值； (2)若A，B，C三点共线，求k的值． 解析　(1)因为2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3. (2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：20分) 7．在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足＝3，则＝(　　) A．＋ B．－－ C．＋ D．－－ 解析　因为G为△ABC的重心，所以＝×(＋)＝(＋)．又＝3， 所以＝，所以＝＋＝－＋＝－－，故选B． 答案　B 8．△ABC中，若点P满足＝＋，＝＋，则△APQ与△ABC的面积之比为(　　) A．1∶3 B．5∶12 C．3∶4 D．9∶16 解析　因为＝＋，所以(－)＝(－)，即＝2，得点P为线段BC上靠近点C的三等分点．又＝＋，所以(－)＝(－)，即3＝，得点Q为线段BC上靠近点B的四等分点，所以PQ＝BC，所以△APQ与△ABC的面积之比为S△APQ∶S△ABC＝PQ∶BC＝5∶12，故选B． 答案　B 9．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示) 解析　＝＋＋＝－＋＋＝－－＋(＋)＝－b－a＋(a＋b)＝b－a＝(b－a)． 答案　(b－a) 10．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝____________. 解析　直接利用向量共线定理，得＝3， 则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3， ＝－＋， 则m＝－，n＝， 那么m－n＝－－＝－2. 答案　－2 [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：10分) 11．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)． (1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线； (2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由． 解析　(1)证明　当a＝，b＝时， ＝＋， 所以(－)＝(－)，即2＝， 所以与共线，又与有公共点C， 所以A，B，C三点共线． (2)a＋b为定值1，理由如下： 因为A，B，C三点共线，所以∥， 不妨设＝λ(λ∈R)， 所以－＝λ(－)， 即＝(1－λ)＋λ. 又＝a＋b，且，不共线， 则 所以a＋b＝1(定值)． 学科网（北京）股份有限公司 $