6.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

“杨辉三角”与二项式系数的性质 重点 1. 熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论。 2. 熟练运用赋值法求一些代数式的值。 难点 1. 结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点； 2. 利用赋值法证明二项式系数的性质。 考试要求 考试 · 题型 选择 填空 · 难度 中档 核心知识点一：杨辉三角的特点 1. 表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等； 2. 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。 核心知识点二：二项式系数的性质 1. 对称性： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。即。 2. 递推性： 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 即。 3. 增减性与最大值。 （1）当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值； （2）当幂指数为偶数时，中项即第项二项式系数最大；当幂指数为奇数时，中项即第项二项式系数相等且最大。 4. 各二项式系数的和 （1）的展开式的各二项式系数的和，这就是说，等于； （2）。 注意： 1. 求各项的系数和 对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。 2. “二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来，“赋值法”是求系数和的常规方法之一。 类型一：利用杨辉三角的特点解题 例题1 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第______行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3. 【思路分析】根据杨辉三角与二项式系数之间的关系列方程求解。 【解析】设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2:3，则 ，所以，即， 得，所以n=34. 【总结提升】 熟练准确的掌握杨辉三角中数的排列规律，解题时应通过观察、分析和归纳，发现其中的规律，从而解决问题。 类型二：赋值法的应用 例题2 在的展开式中，求： （1）二项式系数的和；　 （2）各项系数的和；　 （3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和。　 【思路分析】一定要分清楚二项式系数的和与各项的系数和这是两个概念：各项系数的和是赋值法，即令变量为1，二项式系数的和是公式2n，二项式系数的和为正数，各项系数的和可正可负。 【解析】设（*）， 由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和。 （1）二项式系数和为。 （2）令，各项系数和为。 （3）奇数项的二项式系数和为， 偶数项的二项式系数和为。 【总结提升】赋值法研究二项式的系数和问题： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n、（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。 例题3 求证： 【思路分析】联想(a+b)n的展开式，对a,b进行赋值。 【解析】在中， 令a=1,b=-2,得, 所以 【总结提升】组合恒等式的证明思路： （1）运用公式恰当地对字母a,b赋值，或进一步作变形转化。 （2）运用组合数公式作转化。 类型三：二项式系数的性质的应用 例题3 已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992。 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项。 【思路分析】（1）n为偶数时，则中间一项即为所求；n为奇数时，则中间两项即为所求。 （2）若展开式中系数最大的项为第r项，则只需令这一项大于等于它的前一项和它的后一项即可。 【解析】（1）令x=1，则二项式各项系数的和为， 又展开式中各项的二项式系数之和为， 由题意知，。 ∴， ∴， ∴（舍），或，∴n=5。 ∵n=5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 ， （2）展开式的通项为。 假设项的系数最大，则有， ∴，∴。 ∵r∈N，∴r=4。 ∴展开式中系数最大的项为。 【总结提升】求系数最大的项： （1）求二项式系数最大的项： 若n是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大； 若n是奇数，则中间两项（第项与第项）的二项式系数相等且最大。 （2）求展开式系数中最大的项： 如求的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法。设展开式各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第（r+1）项系数最大，应用解出r，即得系数最大的项。 1. 赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n、（ax2＋bx＋