6.3.1 二项式定理学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2022-2023学年 承德县一中学案 二项式定理 重点 1. 能利用计数原理证明二项式定理； 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 难点 区分二项式系数与某一项的系数。 考试要求 考试 · 题型 选择、填空 · 难度 中等 核心知识点一：二项式定理 1. 二项式定理： 2. 通项公式： 第k＋1项为： 3. 二项展开式的三个重要特征 ①字母a的指数按降幂排列由n到0； ②字母b的指数按升幂排列由0到n； ③每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n。 核心知识点二：二项展开式中的特定项 （1）利用通项将Tk＋1项写出并化简； （2）令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出k； （3）代回展开式通项公式得所求。 特别地： （1）二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项。 （2）（a＋b）n与（b＋a）n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒。 （3）易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C（k＝0，1，…，n）。 类型一：求展开式 例题1 求的展开式。 【解析】解法一：（直接利用二项式定理展开并化简） 。 解法二： 。 【总结提升】求二项展开式的常见思路 思路一：直接运用二项式定理展开； 思路二：先对要展开的式子进行化简，然后再展开。 类型二：求展开式中的某一项或特定项 例题2 （1）二项式展开式中的第4项为（　　） A. －1 280x3　　 B. －1 280 C. 240 D. －240 （2）在二项式的展开式中，若常数项为－10，则a＝________。 【思路分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定某一项以及参数的值。 【解析】 （1）展开式中的第4项为T3＋1＝＝－1 280x3，故选A。 （2）的展开式的通项Tr＋1＝＝，令，得r＝4，所以＝－10，解得a＝－2。故答案为－2。 【总结提升】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成： 1. 根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）； 2. 根据所求的指数，再求所求解的项。 类型三：几个多项式的和（积）的展开式问题 例题3 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【思路分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解。 【解析】 展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为，故选C。 【总结提升】 求解形如（a＋b）m（c＋d）n的展开式问题的思路 （1）若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如（a＋b）2·（c＋d）n＝（a2＋2ab＋b2）（c＋d）n，然后分别求解； （2）观察（a＋b）（c＋d）是否可以合并，如（1＋x）5·（1－x）7＝[（1＋x）（1－x）]5（1－x）2＝（1－x2）5（1－x）2； （3）分别得到（a＋b）m，（c＋d）n的通项，综合考虑。 类型四：二项式定理的综合应用 　 例题4 （1）除以100的余数是几？ （2）求证：能被64整除。 【思路分析】（1）先将91写成100-9或90+1，再按二项式定理展开。 （2）将所求代数式的值转化成64的倍数。 【解析】（1）， 前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除。 又=8281=8200+81，∴除以100的余数是81. （2）证明：∵ ， 又是整数， ∴能被64整除。 常见易错问题剖析 已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，则的系数为_______。 【错解】 由题意可得，解得， 所以，展开式通项为， 令，解得，因此，则的系数为，故答案为15。 【错因分析】没有分清楚二项式系数与某一项系数的概念，没有能理清它们之间的关系。 【正解】由题意可得，解得。 所以，展开式通项为， 令，解得。因此，展开式中的系数为， 故答案为240。 【总结提升】 1. 求指定项的系数 二项展开式中的指定项的系数，一般是利用通项公式进行，化简通项后，令字母的指数符合要求，解出k即可； 2. 二项式系数 组合是二项展开式的二项式系数，“二项式系数”与“二项展开式的系数”不是一个概念。 二项展