6.2.5 排列与组合的常见方法（一）学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2022-2023学年 承德县一中学案排列与组合的常见方法（一） 重点 相邻问题、不相邻问题、定序问题、标号排位问题、有序分配问题、名额分配等问题的解题策略 难点 能根据具体问题的特征，选择适当的方法解决一些简单的实际问题. 考试要求 考试 · 题型 选择、填空、解答 · 难度 中等 类型一：相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。 例题1 五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 【答案】D 【解析】把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种。 类型二：不相邻问题插空法 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。 例题2 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A. 1440种 B. 3600种 C. 4820种 D. 4800种 【答案】B 【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种。 类型三：定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。 例题3 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻），那么不同的排法种数是（ ） A. 24种 B. 60种 C. 90种 D. 120种 【答案】B 【解析】B在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种。 类型四：标号排位问题分步法 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例题4 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种 【答案】B 【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。 类型五：有序分配问题逐分法 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步分组法. 例题5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A. 1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种 【答案】C 【解析】先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种。 类型六：全员分配问题分组法 分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配。 例题6 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 【答案】36 【解析】把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法。 类型七：名额分配问题隔板法 例题7 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【答案】84 【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种。 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 （1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。 （2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。 （3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数（间接法）。 （答题时间：40分钟） 一、选择题 1. 市内某公共汽车站有6个候车位（排成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为（　　） A. 48 B. 54 C. 72 D. 84 2. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（　　） A. 210 B. 84 C. 343 D. 336 **3. 本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（　　） A. 72种 B.