6.2.4组合数（组合的综合应用）学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2022-2023学年 承德县一中学案 组合的综合应用 重点 能运用组合数公式解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力。 难点 能解决简单的组合问题，特别是区分均匀分组和不均匀分组。 考试要求 考试 · 题型 选择 填空 · 难度 简单 核心知识点：组合的应用 1. 分组分配问题 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象。 2. “含”与“不含”问题 “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。 3. “至少”或“至多”问题 “至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解。 类型一：基本组合问题 例题1 有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从10名运动员中选派5人外出比赛。在下列情形中各有多种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加。 【解析】（1）第一步：选3名男运动员，有种选法。 第二步：选2名女运动员，有种选法。共有=120（种）选法。 （2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男。 由分类加分计数原理可得选法总数为。 方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解。 从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种。 所以“至少有1名女运动员”的选法有种。 （3）方法一：分类求解： “只有男队长”的选法有种；“只有女队长”的选法有种； “男女队长都入选”的选法有种； 所以共有（种）选法。 方法二：间接法： 从10人中任选5人有种选法，其中不选队长的选法有种，所以 “队长中至少有一人参加”的选法有（种）。 【总结提升】含“至多”“至少”问题的解法 解组合问题时，常遇到“至多”“至少”型问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量。当限制条件较多时，要恰当分类，逐一求解。 类型二：有限制条件的组合问题 例题2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货。现从35种商品中选取3种。 （1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 【思路分析】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼。使用两个计数原理解决。 【解析】（1）从余下的34种商品中，选取2种有（种）， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种。 （2）从余下的34种可选商品中，选取3种，有（种）。 ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种。 （3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有（种）。 ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种。 （4）选取2种假货有种，选取3种假货 种，共有选取方式 （种）。 ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种。 （5）选取3种的总数为，选取3种假货有 种，因此共有选取方式 （种）。 ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种。 【总结提升】 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类： 1. “含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 2. “至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏。 常见易错问题剖析 有编号分别为1，2，3，4的4个盒子和4个小球，要求把小球全部放入盒子中。问： （1）共有多少种放法? （2）恰有1个空盒，有多少种放法? 【错解】（1）由已知，相当于对1，2，3，4全排列，故有种放法。 （2）从4个小球中任取3个，有种取法，从4个盒子中任取3个，有种取法，将3个小球放到取出的3个盒子中，有种放法，再把余下的小球放到3个盒子中的1个，有3种放法，所以放法共有3 =288种。 【错因分析】（1）没有理解题意，这里的任务是把小球放入盒中即可，并没有要求每盒中放1个小球。 （2）错解属于重复计数问题。若取出的3个小球为1号，2号，3号，则4号小球放入盒中时，其中一种方式为1，423；若取出的3个小球为2号，3号，4号，则1号小球放入盒中时，其中也有一种方式为231，4，故出现重复计数。 【正解】（1）1号小球可