6.2.2 排列数（排列的综合应用）学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2022-2023学年 承德县一中学案 排列的综合应用 重点 1. 掌握常见的几种有限制条件的排列问题的解法 2. 能应用排列与排列数公式解决简单的实际计数问题 难点 有限制条件的排列问题 考试要求 考试 · 题型 选择 填空 · 难度 中等 类型一：含有“在”与“不在”约束条件的排列问题 例题1 （1）某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，那么共有______种不同的排课程表的方法。 （2）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有______种。 （3）用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】（1）600 （2）252 （3）2296 【思路分析】 （1）约束条件是“第一节不排体育”；可以按第一节优先安排，分两步计数，也可以用间接法求解。 （2）约束条件是：3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上，解决方法：先安排一、三、五位置，再安排二、四位置。 （3）约束条件是：①没有重复数字，②0不在首位，③末位为偶数，可按特殊元素优先安排或特殊位置优先安排或间接法求解。 【解析】（1）方法一：第一节排其他课有种，其他5节课有种， 所以有= 600（种）。 方法二（间接法）：六门课总的排法是种，其中不符合要求为体育排在第一节，有种排法，因此符合条件的排法应是（种）。 （2）分两步完成：第一步，安排三名主力队员，有种；第二步安排另2名队员，有种，所以共有（种）。 （3）方法一：当个位数字排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的9个数字中任选3个来排列，故有（个）； 当个位上从“2，4，6，8”中任选1个来排时，则千位上从余下的8个非零数字中任意选1个，百位、十位上再从余下的8个数字中任选2个来排，按分步乘法计数原理有（个）。 所以，没有重复数字的四位偶数有（个）。 方法二：当个位数字排“0”时，同方法一有个；当个位数字是“2，4，6，8”之一时，千位、百位、十位上可从余下9个数字中任选3个的排列中减去千位数是“0”的排列数得（个）。 所以，没有重复数字的四位偶数有 （个）。 方法三：千位数上从“1，3，5，7，9”中任选一个，个位数上从“0，2，4，6，8”中任选一个，百位、十位上从余下的8个数字中任选2个排列有（个）； 千位数上从“2，4，6，8”中任选一个，个位数上从余下的4个偶数中任选1个（包括0在内），百位、十位从余下的8个数字中任选2个排列，有（个）。 所以，没有重复数字的四位偶数有（个）. 方法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数。 没有重复数字的四位数有（个）， 其中四位奇数有（个）。 所以，没有重复数字的四位偶数有（个）。 【总结提升】含有“在”与“不在”约束条件排列问题的求解原则和常用方法 （1）求解原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的原则主要是按“优先”原则，即按优先排特殊元素或优先满足特殊位子的分步计数，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论。 （2）常用方法：①直接法：直接根据约束条件分步或分类计数；②间接法：问题的正面分的情况较多，或计算较复杂，而反面情况数较少或计算简单时选用间接法。 类型二：含有“相邻”与“不相邻”约束条件的排列问题 例题2 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数。 （1）全体站成一排，男、女各站在一起； （2）全体站成一排，男生必须站在一起； （3）全体站成一排，男生不能站在一起； （4）全体站成一排，男、女都不相邻。 【思路分析】对于“相邻”问题常利用捆绑法，对于“不相邻”问题常利用插空法。 【解析】（1）男生必须站在一起是男生的全排列，有种排法。 女生必须站在一起是女生的全排列，有种排法。 全体男生、女生各视为一个元素，有种排法.由分步乘法计数原理知，共有种排队方法。 （2）三个男生全排列有种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有种排法.故有种排队方法。 （3）先安排女生，共有种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，共有种排法，故共有种排法。 （4）排好男生后让女生插空，共有种排法。 【总结提升】含有“相邻”与“不相邻”约束条件的排列问题的解法 （1）相邻问题捆绑法 对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一起排列，然后再对捆绑元素内部进行排列。 （2）不相邻问