6.2.1 排列学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2022-2023学年 承德县一中学案 排列 重点 1. 通过实例正确理解排列的意义，能利用树形图写出简单问题的所有排列。 2. 理解和掌握排列和排列数公式，能应用排列及排列数公式解决某些实际问题。 难点 掌握几种具有限制条件的题型，如团体排列，插空问题等，掌握解决有关排列问题的一些方法，如直（间）接法，捆绑法，优先考虑特殊位置（元素）等。 考试要求 考试 · 题型 选择 填空 · 难度 中等 核心知识点一：排列的相关概念 （1）定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 （2）相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。 （3）全排列：当m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。 注意： 1. 排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”。研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是不同的。 2. 由相同排列的定义知，元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列。 核心知识点二：排列数 1. 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A。 2. 排列数公式：A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝ 性质：A＝n（n-1）（n-2）. . . 2×1=n！；0！＝1 注意：“排列数”与“一个排列”不是同一个概念。“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数。 类型一：简单的排列问题 例题1 从1，2，3，4四个数字中任取两个不同数字组成两位数，可以组成哪些两位数?一共可以组成多少个? 【思路分析】解答时首先按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有排列。 【解析】由题意作树形图，如下。 故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个。 【总结提升】 在“树形图”的操作中，首先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的排列。 类型二：排列数公式及其应用 例题2 （1（ ） A. B. C. D. （2）解方程 【思路分析】（1）题直接运用排列数的公式计算。（2）用排列数的公式展开得方程求解。要注意x的取值范围，并检验根是否合理。 【答案】（1）A （2）3 【解析】 （1）。故选A。 （2）因为所以x≥3，， 由得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）。 化简得，4x2－35x＋69＝0，解得x1＝3，（舍去）。 所以方程的解为x＝3。 【总结提升】 1. 注意中隐含了3个条件：①；②；③的运算结果为正整数。 2. 在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解。注意常用变形，（即），的应用。 类型三：有限制条件的排列问题 例题3 用0，1，2，3，4这五个数字组成五位数： （1）可组成多少个五位数? （2）可组成多少个无重复数字的五位数? （3）若1和3相邻，则可组成多少个无重复数字的五位数? 【思路分析】该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位。（1）首位不为0，数字可以重复；（2）限制首位不为0，且数字不可以重复；（3）应用捆绑法求解。 【解析】（1）万位上不能排0，各个数位上的数字允许重复，由分步乘法计数原理得，共可组成4×5×5×5×5=2 500个五位数。 （2）方法一：（优先考虑特殊位置）先排万位，从1，2，3，4 中任取一个有种方法，其余四个位置排四个数字共有种方法，故组成的无重复数字的五位数共有= 96个。 方法二：（优先考虑特殊元素）先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有种方法，其余四个数字全排，有种方法。故组成的无重复数字的五位数共有=96个。 （3）（捆绑法）若1和3相邻，则把1和3“捆绑”，看成一个整体与0，2，4进行排列。故组成无重复数字的五位数共有= 36个。 【总结提升】 涉及有约束条件的排列问题，先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素的位置（这种方法称为特殊元素法或特殊位置法）；或者，先求出无约束条件的排列数，再减去不符合条件的排列数（也叫做间接法或排除法），这是解排列题的基本策略。 所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素（位置）特殊考虑的结果。要求相邻的两个元素是特