6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2022-2023学年 承德县一中学案 基本计数原理 重点 1. 通过实例，总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义，分清它们的条件和结论。 2. 掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，理解两个原理的区别与联系。 难点 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。 考试要求 考试 · 题型 选择 填空 · 难度 中等 核心知识点一：分类加法计数原理 1. 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2. 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 核心知识点二：分步乘法计数原理 1. 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法。 2. 完成一件事需要n个步骤，完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法……完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn种不同的方法。 核心知识点三：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事。 注意：一定要分清是分步完成，还是分类完成，即区分好是加法原理还是乘法原理。 类型一：分类加法计数原理应用 例题1 （1）某校从高二的4个班中抽出一些同学组成数学课外小组，其中一、二、三、四班分别抽出了4名、5名、6名、7名同学。若任选其中1名同学担任组长，则有多少种不同的选法? （2）在所有两位数中，个位上的数字大于十位上的数字的两位数共有多少个? 【思路分析】（1）本题要完成的一件事是“任意选出1名同学担任组长”，所以只要从4个班抽出的同学中任意选出1名同学就算完成任务，故应用分类加法计数原理求解。（2）分类讨论个位或者十位数上的数字，再利用加法原理得出结果。 【解析】（1）分四类：第一类，从一班抽出的同学中选1名同学担任组长，有4种不同选法；第二类，从二班抽出的同学中选1名同学担任组长，有5种不同选法；第三类，从三班抽出的同学中选1名同学担任组长，有6种不同选法；第四类，从四班抽出的同学中选1名同学担任组长，有7种不同选法。根据分类加法计数原理，共有4+5+6+7=22种不同选法。 （2）方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类， 在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个， 根据分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数为8+7+6+5+4+3+2+1=36。 方法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9的情况分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，根据分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为1+2+3+4+5+6+7+8=36。 【总结提升】 分类加法计数原理要求每一类方案中的各种方法都是相互独立的，且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事。在应用该原理解题时，要根据问题的特点，确定好分类的标准。分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类。 类型二：分步乘法计数原理应用 例题2 已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的点，问： （1）点P可表示平面上多少个不同的点? （2）点P可表示平面上多少个第二象限内的不同的点? 【思路分析】完成“确定点P”这件事，需要依次确定点P的横坐标和纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解。 【解析】（1）确定平面上的点P（a，b），可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法。根据分步乘法计数原理，得到平面上不同的点P的个数为6×6=36。 （2）确定平面上第二象限内的点P（a，b），可分两步完成：第一步确定a的值，因为a<0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，因为b>0，所以有2种不同方法。由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内不同的点P的个数为3×2=6。 【总结提升】 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意： （1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； （2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事。 类型三：两个原理的综合运用 例题3　用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种