题型十一 与切线有关的计算与证明-【新考典】2023中考数学精讲本课件PPT（甘肃专用）

数 学 甘 肃 第二部分　题型透析 题型十一　与切线有关的计算与证明 2 类型一　等腰三角形型 常见图示 思维直观图 AB＝AC，DE⊥AC 新考典 常见图示 思维直观图 BC＝PC，OC⊥OA 新考典 　　 　（2016省卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，☉O经过A，B，D三点. （1）求证：AB是☉O的直径； （2）判断DE与☉O的位置关系，并加以证明； 【思路分析】　（1）连接AD，由AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，利用90°的圆周角所对的弦为直径即可得证.（2）解题思路同第一种图示【思维直观图】. 新考典 【自主解答】 （1）证明：连接AD. ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°. ∴AB是☉O的直径. （2）解：DE与☉O相切. 证明如下：连接OD.∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC.又DE⊥AC，∴DE⊥OD.又OD为☉O的半径，∴DE与☉O相切. 新考典 　　（3）若☉O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长. 　　【思路分析】　由AB＝AC，∠BAC＝60°，可证△ABC为等边三角形，先求出CD的值，再利用锐角三角函数即可求出DE的长. 【自主解答】 解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形.∴∠C＝60°，BC＝AB＝6.∴CD＝BC＝3.在Rt△CDE中，DE＝sinC·CD＝sin60°×3＝. 新考典 　（2022苏州）如图，AB是☉O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上的一点，且CF＝EF. （1）求证：CF为☉O的切线； 证明：如图，连接OC，OD. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC. 又∠OED＝∠FEC，∴∠OED＝∠FCE.∵AB是☉O的直径，D是的中点，∴∠DOE＝90°.∴∠OED＋∠ODC＝90°.∴∠FCE＋∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°.又OC是☉O的半径，∴CF为☉O的切线. 新考典 （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG，若CF＝4，BF＝2，求AG的长. 解：如图，过点G作GH⊥AB于点H.设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r＋2.在Rt△COF中，CF2＋OC2＝OF2，即42＋r2＝（r＋2）2.∴r＝3.∵GH⊥AB，∴∠GHB＝90°.∵∠DOE＝90°，∴∠GHB＝∠DOE.∴GH∥DO.∴＝.∵G为BD的中点，∴BG＝BD.∴BH＝BO＝.∴GH＝OD＝.∴AH＝AB－BH＝6－＝.∴AG＝＝. 新考典 类型二　弦切角型 常见图示 思维直观图 ∠BCN＝∠A 新考典 　（2018兰州）如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B. （1）求证：DC为☉O的切线； （2）线段DF分别交AC，BC于点E，F，且∠CEF＝45°，☉O的半径为5，sinB＝，求CF的长. 新考典 　　【思路分析】　（1）解题思路同【思维直观图】.（2）先根据三角函数计算AC＝6，BC＝8，证明△CAD∽△BCD，得＝＝＝，设AD＝3x，CD＝4x，利用勾股定理列方程可得x的值，证明△CED∽△BFD，列比例式可得CF的长. 新考典 【自主解答】 （1）证明：连接OC.∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝∠BCO＋∠OCA＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO.又∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠BCO.∴∠ACD＋∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°.又OC为☉O的半径，∴DC为☉O的切线. 新考典 （2）解：∵在Rt△ACB中，AB＝2×5＝10，sinB＝＝，∴AC＝6.∴BC＝8.∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，∴△CAD∽△BCD. ∴＝＝＝.设AD＝3x，CD＝4x.在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝OD2，∴52＋（4x）2＝（5＋3x）2.解得x1＝0（舍去），x2＝.∴AD＝3×＝，CD＝4×＝.∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，∴CE＝CF.设CE＝CF＝a. 新考典 ∵∠CEF＝∠ACD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠BDF，∴∠CDE＝∠BDF.又∠ECD＝∠B， ∴△CED∽△BFD.∴＝，即＝.解得a＝.∴CF＝. 新考典 　（2021泸州）如图，△ABC是☉O的内接三角形，过点C作☉O的切线交BA的延长线于点F，AE是☉O的直径，连接EC. （1）求证：∠ACF＝∠B； （2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD·AE的值. 新考典 （1）证明：连接OC.∵CF是☉O的切线，∴∠OCF＝90°.∴∠O