第四章 微专题（二） 与旋转有关的模型-【新考典】2023中考数学精讲本课件PPT（甘肃专用）

数 学 甘 肃 第四章　三角形 微专题（二）　与旋转有关的模型 2 类型一　全等型手拉手模型 　顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形旋转——全等三角形，如图： 新考典 总结：AC＝AB，∠CAE＝∠BAF，AE＝AF——△ACE≌△ABF（SAS）. 　如图，已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和ADE，直线CE交直线l于点F.当点F在线段BD上时，求证：DF＝CE－CF. 新考典 证明：∵AB⊥直线l，∴∠ABD＝90°.∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DAE＝60°. ∴∠DBC＝∠ABD－∠ABC＝30°，∠BAD＝∠CAE.∴△BAD≌△CAE. ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∴∠ACE＝90°. ∴∠FCB＝180°－∠ACB－∠ACE＝30°. ∴∠DBC＝∠FCB.∴BF＝CF. ∴DF＝BD－BF＝CE－CF. 新考典 （1）发现：如图①，当点D在AC上时，线段AE和线段BD的数量关系是 　AE＝BD　⁠，位置关系是 　AE⊥BD　⁠. （2）探究：如图②，将△DCE绕点C逆时针旋转，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. AE＝BD　 AE⊥BD　 　△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD. 新考典 解：成立.证明如下： ∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE＋ ∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，即∠ECA＝∠DCB. ∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∴EC＝DC，CA＝CB.∴△ECA≌△DCB. ∴AE＝BD，∠1＝∠2.如图，设AE与BD相交于点P.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.∴180°－（∠1＋∠3）＝180°－（∠2＋∠4），即∠APB＝∠ACB.∴∠APB＝90°.∴AE⊥BD. 新考典 类型二　相似型手拉手模型 　等角的顶点重合且等角的两边对应成比例的两个三角形旋转——相似三角形，如图： 总结：＝，∠CAE＝∠BAF——△ACE∽△ABF. 新考典 　如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是（　A　） A A.①②③ B.① C.①② D.②③ 新考典 　如图，已知四边形ABCD和EFCG均为正方形，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°. （1）求证：△CAE∽△CBF； 证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴＝＝.又∠ACE＋∠BCE＝∠BCF＋∠BCE＝45°，∴∠ACE＝∠BCF.∴△CAE∽△CBF. 新考典 （2）若BE＝1，AE＝2，求BF和CE的长. 解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝.∴＝.解得BF＝. ∵∠CAE＋∠CBE＝90°， ∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°. ∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋（）2＝3，则EF＝. ∵CE＝EF，∴CE＝. 新考典 类型三　对角互补模型 　对于对角互补模型，常过一点作两条垂线，从而证明三角形全等或相似. 对角互补模型 ∠AOB＝∠ECD＝90°，过点C分别作OA，OB的垂线，易得△CDM∽△CEN.（若CD＝CE，则△CDM≌△CEN） ∠AOB＋∠ECD＝180°，过点C分别作OA，OB的垂线，易得△CDM∽△CEN.（若CD＝CE，则△CDM≌△CEN） 新考典 　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 　3　⁠.  3　 新考典 　菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON＋∠BCD＝180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF. （1）如图①，当∠ABC＝90°时，△OEF的形状是 　等腰直角三角形　⁠；  等腰直角三角形　 新考典 （2）如图②，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由. 解：△OEF是等边三角形.理由如下：如图②，过点O作OG⊥BC于点G，OH⊥CD于点H，则∠OGE＝∠OGC＝∠OHC＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC＋∠BCD＝180°.∴OG＝OH，∠BCD＝180°－60°＝120°.∵∠GOH＋∠OGC＋∠BCD＋∠OHC＝360°，∴∠GOH＋∠BCD＝180°.又∠MON＋∠BCD＝180°， ∴∠GOH＝∠