10.1.1 复数的概念（课时作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版

1．已知m∈R，i为虚数单位，z＝m＋2＋(m－1)i，若z为实数，则m取值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．－2 D．2 解析　z＝m＋2＋(m－1)i为实数，则m－1＝0⇒m＝1. 答案　B 2．(多选题)已知复数z＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值为(　　) A．π B． C. D． 解析　由条件，知cos α＋cos 2α＝0， ∴2cos2α＋cos α－1＝0， 解得cos α＝－1或. 又0＜α＜2π，∴α＝π或或. 答案　ABD 3．设x＋2i＝1－yi(i是虚数单位，x∈R，y∈R)，若复数z＝x＋yi，则z为(　　) A．z＝1－2i B．z＝1＋2i C．z＝－1＋2i D．z＝2－2i 解析　因为x＋2i＝1－yi(i是虚数单位，x∈R，y∈R)，所以x＝1，y＝－2，所以z＝1－2i. 答案　A 4．已知i是虚数单位，给出下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②两个虚数不能比较大小； ③若a，b∈R，且a>b，则bi2>ai2. 其中，正确命题的序号是________． 解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)， 当a＝0且b≠0时为纯虚数． 在①中，若a＝－1， 则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误； 显然②正确．因为i2＝－1，且a>b， 所以bi2>ai2，故③正确． 答案　②③ 5．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R)相等，则θ＝________. 解析　根据两个复数相等的充要条件，得 cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1， 所以θ＝kπ－(k∈Z)． 答案　kπ－(k∈Z) 6．设复数z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m的值(或取值范围)． 解析　由z1<z2，可得z1，z2∈R，而m∈R， 则即 解得m＝1. 故所求实数m的值为1. 7．(多选题)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a可以等于(　　) A．11 B．－ C. D．－ 解析　设方程的实根为x＝m， 则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， ∴ 解得a＝11或a＝－.故选A，B. 答案　AB 8．复数4－3a－a2i与a2＋4ai相等，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4 解析　由题意知解得a＝－4. 答案　C 9．已知m，n∈R，z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则m＝________，n＝________. 解析　∵z1＝z2，∴ 解得或即m＝2，n＝±2. 答案　2　±2 10．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解析　(1)∵z1为纯虚数，则 解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2； 当sin θ＝－1时，λmax＝6. ∴实数λ的取值范围是[2,6]． 11．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解析　若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b＝±2. 当a＝－3，b＝－2时， M＝{3i,8}，N＝{3i,8}，M∩N＝M，不合题意； 当a＝－3，b＝2时，M＝{3i,8}，N＝{3i,8＋4i}， 符合题意． ∴a＝－3，b＝2. 若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i， 即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2. 当a＝－3，b＝－2时，不合题意； 当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i,8}，N＝{3i,8}，符合题意． ∴a＝3，b＝－2.若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}， 则，即， 此方程组无整数解． 综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $