专题02 平行线模型-“铅笔”模型-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题02 平行线模型-“铅笔”模型 专题说明 上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。 【模型刨析】 模型二：“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD内部 “铅笔”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 【典例分析】 【典例1】（2020春•上虞区期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数． 经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝　 　． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β． （1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由． （2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系． 问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为　 　． 【解答】解：如图2，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠APC＝108°， ∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°； 故答案为：252°； （1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 如图3，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由： 如图3﹣1，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α； 当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由： 如图3﹣2，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β． 问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1． 【变式1-1】（2020春•太原期中）问题情境 （1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由． 小明给出下面正确的解法： 直线AB与CD的位置关系是AB∥CD． 理由如下： 过点E作EF∥AB（如图②所示）， 所以∠B+∠BEF＝180°（依据1）， 因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知）， 所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°， 所以∠FED+∠D＝180°， 所以EF∥CD（依据2）， 因为EF∥AB， 所以AB∥CD（依据3）． 交流反思 上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？ “依据1”：　 　， “依据2”：　 　， “依据3”：　 　， 类比探究 （2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件　 　时，有AB∥CD． 拓展延伸 （3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件　 　时，有AB∥CD． 【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补， “依据2”：同旁内角互补，两直线平行， “依据3”：平行于同一条直线的两直线平行， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行， （2）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°时，有AB∥CD． 理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD． 则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°， ∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°； 又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°， ∴∠B+∠BEG＝180°， ∴AB∥GE， ∴AB∥CD； 故答案为：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°； （3）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD时，有AB∥CD． 理由：过点E、F分别作GE