专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题01 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型） 专题说明 几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。本次课主要学习平行线模型-“猪蹄”模型（M模型），为以后的学习打好一个坚实的基础。 【模型刨析】 模型一“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 【典例分析】 【典例1】（2022春•上虞区期末）如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD． （1）若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝　 　． （2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数（用α表示），并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，请直接写出∠P与∠Q间的数量关系． 【解答】解：（1） 过点M作MG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MG， ∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM， ∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°． 故答案为：80°． （2）∠ENF＝α．理由如下： 过点M作MG∥AB， 由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM， 过点N作NH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥NH， ∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN， ∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN， ∵∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM， ∴∠ENF＝∠AEM+∠CFM ＝（∠AEM+∠CFM） ＝∠EMF， ∵∠EMF＝α， ∴∠ENF＝α． （3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下： 由（2）的结论可知，∠P＝∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝360°， ∵∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM， ∴∠Q＝∠BEM+∠DFM， ＝（∠BEM+∠DFM） ＝（360°﹣∠M）， ∴∠M＝360°﹣n∠Q， ∵∠M＝m∠P， ∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°． 【变式1-1】（2021秋•兴城市期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数． 【解答】解：过C作CF∥AD， ∵BE∥AD ∴∠ACF＝∠A＝52°， ∵CF∥BE ∴∠BCF＝∠B＝43°， ∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°， ∴从C岛看A，B的视角∠ACB为95°． 【变式1-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． （1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝　 ． （2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程． 【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC， ∵PC∥l1， ∴∠A＝∠APC， ∵l1∥l2， ∴PC∥l2， ∴∠B＝∠BPC， ∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B， 故答案为：∠APB＝∠A+∠B； （2）发生变化， 如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A， ∵AC∥BD， ∴PF∥BD， ∴∠B＝∠BPF， ∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A． 【变式1-3】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED． 求证：∠BED＝∠B+∠D． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明： 过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠D， ∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D． 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： 直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上， 猜想：如图②，若点P在线段CD上