专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型 专题说明 学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。 【模型刨析】 模型三“抬头”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD外部 “臭脚”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、 CD外部 “骨折”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【典例分析】 【类型一：“骨折”模型】 【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数． 【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G， ∵AG∥CD， ∴∠CDE＝∠AGE＝60°， ∵AF∥DE， ∴∠BAF＝∠AGE＝60°； 方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED， ∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°， ∵AF∥DE， ∴BM∥CN， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2， ∴∠3＝∠4， ∴∠BAF＝∠CDE＝60°． ∴∠BAF的度数为60°． 【变式1-1】（2017春•如皋市校级期中）如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（　　） A．55° B．50° C．40° D．30° 【答案】B 【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥OM∥PN∥CD， ∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM， ∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4， ∴60°﹣70°＝40°﹣∠4， ∴∠4＝50°． 故选：B． 【变式1-2】（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　） A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180° 【答案】B 【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB， ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF， ∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ， ∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②， 由①②得：α+β﹣γ＝90°． 故选：B． 【变式1-3】（2014春•苏州期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠EBC＝∠BCF， ∴EB∥CF， ∴∠F＝∠E＝50°． 故选：B． 【类型二：“抬头”模型】 【典例2】（2022春•长沙期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 ，∠EMC的度数为 　　． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°； 故答案为：30