专题02 二次根式运算及运用-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题02 二次根式运算及运用 专题说明 二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实基础。主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。这个专题难度不大，但很重要，需要反复练习巩固。 【考点刨析】 考点1：分母有理化 分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化 有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根式为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项分母：利用. ②两项分母：利用平方差公式 如： 考点2：二次根式的混合运算 考点3：二次根式的大小比较 方法1：公式法 ： 将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小 平方法： 将二次根式平方，去掉根号，再比较大小 方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，倒数的则原二次根式反而小。 考点4： 二次根式的化简求值 【典例分析】 【考点1：分母有理化】 【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ＝；（一） ＝＝；（二） ＝＝＝；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简： ＝＝＝；（四） （1）化简＝　 　 ＝　 　 （2）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得＝　 ②步骤（四）式得＝　 　 （3）化简： +++…+． 【解答】解：（1）＝＝，＝＝． 故答案为：，； （2）①原式＝＝﹣． 故答案为：﹣； ②原式＝＝＝﹣． 故答案为：﹣； （3）原式＝+++…+ ＝ ＝． 【变式1-1】（2022春•西宁期末）【观察】 ； ﹣1； 【感悟】 在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中与+1与﹣1相乘的积都不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式． 【运用】 （1）的有理化因式是 　　；﹣2的有理化因式是 　　 ； （2）将下列各式分母有理化： ①； ②． 【解答】解：（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是， 故答案为：；； （2）① ＝ ＝ ＝； ② ＝ ＝ ＝﹣． 【典例1-2】（2021秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容： ＝＝； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （二）计算： （1）； （2）（n为正整数）． （3）+++…+． 【解答】解：（二）（1）原式＝﹣； （2）﹣； （3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝9． 【典例1-3】（2022春•浏阳市期中）阅读下列运算过程： ①＝＝， ②＝＝＝ 数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题： （1） （2）+++…+． 【解答】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣ ＝﹣1 ＝10﹣﹣1 ＝9． 【考点2：二次根式的混合运算】 【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝3﹣（2+2+1）+3﹣1 ＝3﹣3﹣2+3﹣1 ＝﹣1； （2）原式＝+6x•﹣x2• ＝+2x﹣x2• ＝+2x﹣ ＝3x． 【变式2-1】（2022秋•渠县校级期末）计算： （1）﹣（2+）2． （2）3﹣﹣． 【解答】解：（1）原式＝4﹣（4+2+4） ＝4﹣6﹣4 ＝﹣6； （2）原式＝6﹣3﹣ ＝． 【变式2-2】（2022秋•二道区校级期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝2+2﹣3+ ＝3﹣； （2）原式＝﹣+ ＝2﹣+4 ＝+4． 【变式2-3】（2022秋•通川区校级期末）计算： （1）（﹣）（+）+； （2）． 【解答】解：（1）（﹣）（+）+ ＝5﹣7+ ＝﹣2+； （2） ＝3﹣2+2﹣（1﹣2+2） ＝5﹣2﹣3+2 ＝2． 【变式2-4】（2022秋•邯山区期末）计算： （1）（+1）（﹣1）+﹣（）0； （2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1． 【解答】解：（1）原式＝3﹣1+2﹣1 ＝2+1； （2）原式＝﹣+2﹣﹣2 ＝﹣2+2﹣﹣2 ＝﹣3． 【考点3：二次根式的大小比较】 【典例3】（2021秋•岳麓区校级月考）比较二次根式的大小：﹣4　　﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）． 【答案】＜ 【解答】解：＝48，＝36， ∵48＞36， ∴﹣4＜﹣3． 故答案为：＜． 【变式3-1】（2020秋•昌平区期末）比较大小： （1）　　5； （2）　　． 【答案】（1）＜ （2）＞ 【解答】解：（1）＝24，52＝25， ∵24＜25， ∴＜5． （2）＝13+2， ＝13+2， ∵13+2＞13+2， ∴＞． 故答案为：＜、＞． 【变式3-