专题33 随机变量及其分布-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题33随机变量及其分布 考点定位 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度 热点突破 热点（一）分布列的性质及应用 1（单选）设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q等于(　　) A．1 B.± C.－ D.＋ 【解析】∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0<q2<，∴q＝－. 2（多选）设离散型随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则(　　) A.m＝0.1 B.n＝0.1 C.E(Y)＝－8 D.D(Y)＝－7.8 【解析】由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3， 得m＋4n＝0.7，又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4， 从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项正确； E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确； 因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6， 所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误.故选BC。 3（填空）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______． 【解析】由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝. 4（解答）设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求a； (2)求P(X≥)； (3)求P(<X≤)． 【解析】(1)由分布列的性质，得P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝. (2)P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝. (3)P(<X≤)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋＋＝＝. 【归纳反思】 1.离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn. (4)D(X)＝[xi－E(X)]2pi. (5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X). 2.分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 热点（二）随机变量的分布列 1（单选）设随机变量X服从二项分布X～B(5，)，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～B(5，)，∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝.故选C。 2（多选）若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A.P(X＝1)＝ B.E(3X＋2)＝4 C.D(3X＋2)＝2 D.D(X)＝ 【解析】∵随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝， ∴P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×＋×＝， 在A中，P(X＝1)＝，故A正确； 在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4，故B正确； 在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C正确； 在D中，D(X)＝，故D错误.故选ABC。 3（填空）设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________. 【解析】∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝， 解得p＝.又Y～B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝. 4（解答）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列． 【解析】　(1)设