第10讲 正弦定理-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第10讲 正弦定理 知识点1：正弦定理 （1）正弦定理的描述 ① 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ② 符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ② ；；； ③ ④ ⑤ ，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 知识点2：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ① ； ② ； ③ （其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④ (其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 考点1：用正弦定理解三角形 【例1】（知两角及其余一角）在中，若则 【答案】（1）15°或105 【解析】由得，因为，所以，又为三角形内角 所以或，由内角和为可得或 【例2】（知两角及任意一边）在中，，，，则AC边的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由正弦定理，得． 故选：C． 【例3】（知两边和其中一边的对角）在中，已知，，，则________． 【答案】 【解析】在中，已知，， 由余弦定理可知 再利用正弦定理，即，解得故答案为： 1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． 2．适用正弦定理的两种情形： （1）已知三角形的任意两角与一边． （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角． 1．已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理得：.故选：B. 2．在中，若，，，则∠B=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，，，由正弦定理可得，即，解得，因为，所以或，又，所以，所以；故选：C 3．在中，若，，，则等于（ ） A．105° B．60°或120° C．15° D．105°或15° 【答案】D 【解析】由题知：，所以， 又因为，，所以或.所以或.故选：D 4．中，若，，，则等于（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理可得即， 解得：， 因为，所以，可得， 故选：C. 5．中，内角，，所对边分别为，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，因，则是锐角，由，解得， 由正弦定理得：， 所以. 故选：D 考点2：判断三角形形状 【例4】在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状. 【解析】　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴A是直角，B＋C＝90°， ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1， ∴sin B＝. ∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理， 得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． 1．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． 2．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等. 【变式训练】 1．的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理，得， 又在中，，所以， 所以，即， 故的形状一定是等腰三角形， 故选：A． 2．（2021·全国·高一课时练习）在中，若，则的形状是（ ）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理，可得， 又由，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：A. 3．若中，角的对边分别是，．则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理以及，得， 所以，所以．