第11讲 余弦定理、正弦定理应用举例-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第11讲 余弦定理、正弦定理应用举例 1．基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 4．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：① 北偏东：② 南偏西： 5．坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 6．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图． （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型． （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 考点1：测量距离问题 【例1】如图，某景区的山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，发现张角；从处攀登3千米到达处，回头看索道，发现张角；从处再攀登4千米到达处，则索道的长为___________千米. 【答案】 【解析】解：在中，千米，， 得中，千米，（千米） 在中，千米， （千米） 千米． 故答案为：． 【例2】某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ） A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米 【答案】B 【解析】如图，在中，， 由余弦定理得：， 所以A处与C处之间的距离为千米. 故选：B 三角形中与距离有关问题的求解策略 （1）解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解. （2）解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 1．世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边点时，测得河对面的某地标建筑物在其北偏东60°的方向上，往正北方向步行到达点后，测得该地标建筑物在其南偏东75°方向上.则此时小徐与该地标建筑物的距离（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，，所以， 所以由正弦定理可得，解得. 故选：D. 2．如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】在中，，，故， 由正弦定理，得， 在中，，， 故为等腰直角三角形，且，， 在中，，，， 由余弦定理可得（米）. 故选：B. 3．如图，隔河看两目标与，但不能到达，在岸边先选取相距km的，两点，同时，测得，，，（在同一平面内），则=______km.. 【答案】 【解析】在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°， ∴AC=CD=km. 在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°. ∴BC=. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2=()2+2－2×××cos75°=3+2+=5， ∴AB=(km) 故答案为： 4．如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小海在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶20海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西45°方向，则、两岛屿的距离为____海里． 【答案】20 【解析】解：如图所示： 连接AB，由题意可知CD＝20，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝45°， ∠CAD＝30°，∠ADB＝60°， 在△ACD中，由正弦定理得，， 解得AD＝20， 在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°， ∴BD＝，CD＝20． 在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝BD， 所以△ABD为等边三角形，所以，AB＝20． 故答案为：20 5．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为______m． 【答案】 【详解】 解：易知在中，， 为等腰三角形，则， 在中