第4课 一元二次方程-2022-2023学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第4课 一元二次方程 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解一元二次方程的概念. 2.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元二次方程的有关概念 1.两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程． 2. ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 3.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解. ( 能力拓展 )考点01 一元二次方程的概念 【典例1】下列方程中不一定是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣7x﹣1＝0 B．4x2﹣144＝0 C．x2+2x＝0 D．ax2+3x+b＝0 【思路点拨】利用一元二次方程的定义，可找出方程ax2+3x+b＝0不一定是一元二次方程． 【解析】解：A．方程x2﹣7x﹣1＝0是一元二次方程，选项A不符合题意； B．方程4x2﹣144＝0是一元二次方程，选项B不符合题意； C．方程x2+2x＝0是一元二次方程，选项C不符合题意； D．当a＝0时，方程ax2+3x+b＝0不是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【即学即练1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．3（x+1）2＝2 B．＝3 C．ax2+bx+c＝0 D．x（x+2）＝x2+1 【思路点拨】根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解析】解：A、3（x+1）2＝2整理后为3x2+6x+1＝0符合一元二次方程的定义，此选项符合题意； B、不是整式方程，是分式方程，故错误； C、ax2+bx+c＝0中未确定a、b、c是否为常数且a是否为零，不一定是一元二次方程，此选项不符合题意； D、x（x+2）＝x2+1整理后为2x﹣1＝0，不是一元二次方程，此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 考点02 一元二次方程的一般形式 【典例2】一元二次方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的一般形式是 　x2﹣x﹣6＝0　． 【思路点拨】利用整式的乘法运算展开，然后整理即可得解． 【解析】解：（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）， x2+2x﹣x﹣2＝2x+4， x2+2x﹣x﹣2﹣2x﹣4＝0， x2﹣x﹣6＝0， 所以，一般形式为x2﹣x﹣6＝0， 故答案为：x2﹣x﹣6＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【即学即练2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． （1）3y2＝5y﹣5． （2）（2x﹣1）（3x+2）＝3． （3）2x（x﹣1）＝3（x+2）+1． 【思路点拨】各方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【解析】解：（1）方程整理得：3y2﹣5y+5＝0， 则二次项系数为3，一次项系数为﹣5，常数项为5； （2）方程整理得：6x2+x﹣5＝0， 则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为﹣5； （3）方程整理得：2x2﹣5x﹣7＝0， 则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣7． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 考点03 一元二次方程的解 【典例3】已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【思路点拨】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，再把2022﹣m2+m变形为2022﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m﹣2＝0， 所以m2﹣m＝2， 所以2022﹣m2+m＝2022﹣（m2﹣m）＝2022﹣2＝2020． 故选：B． 【点睛】本题考查