第3课 二次根式的运算-2022-2023学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第3课 二次根式的运算 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会进于简单的二次根式的乘除、加减运算. 2.会进行简单的二次根式的四则混合运算. 3.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想. 4.会应用二次根式解决简单的实际问题，进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的乘除 (1)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)． (2)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)． 知识点02 二次根式的加减 1.二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式； 2.同类二次根式：把二次根式化成最简二次根式，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. ( 能力拓展 )考点01 二次根式的乘除 【典例1】计算： （1） （2） 【思路点拨】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值； （2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值． 【解析】解：（1）原式＝8＝8×3＝24； （2）原式＝2××＝． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【即学即练1】×4÷ 【思路点拨】根据二次根式的乘除法计算可得． 【解析】解：原式＝×4×× ＝3 ＝18． 【点睛】本题主要二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则． 考点02 二次根式的加减 【典例2】计算下列各式： （1）； （2）+4﹣+． 【思路点拨】（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式； （2）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式． 【解析】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2； （2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 【即学即练2】计算：(1)．(2)． 【思路点拨】先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：(1) ＝4﹣+2+3 ＝6+． (2)． ＝+﹣+2 ＝3﹣． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式的性质，熟练利用二次根式的性质化简各二次根式是解决本题的关键． 考点03 二次根式的混合运算 【典例3】计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案． （2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案． 【解析】（1）原式＝ ＝． （2）原式＝1﹣5+1+2+5 ＝2+2． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 【即学即练3】化简： （1）﹣×+2； （2）（﹣）（+）+6﹣（﹣2）2． 【思路点拨】（1）先算乘法、再化简，然后合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可． 【解析】解：（1）﹣×+2 ＝2﹣+ ＝2﹣6+ ＝﹣4+； （2）（﹣）（+）+6﹣（﹣2）2 ＝3﹣2+2﹣（3﹣4+4） ＝3﹣2+2﹣3+4﹣4 ＝﹣6+6． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． 考点04 二次根式的简单应用 【典例4】若矩形的长a＝，宽b＝． （1）求矩形的面积和周长； （2）求a2+b2﹣20+2ab的值． 【思路点拨】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案； （2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【解析】解：（1）∵矩形的长a＝，宽b＝． ∴矩形的面积为：（+）（﹣） ＝6﹣5 ＝1； 矩形的周长为：2（++﹣）＝4； （2）a2+b2﹣20+2ab ＝（a+b）2﹣20 ＝（++﹣）2﹣20 ＝（2）2﹣20 ＝24﹣20 ＝4． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【即学即练4】如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和16cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．（8﹣4）cm2 B．（16﹣8）cm2 C．（8﹣12）cm2 D．（4﹣2）cm2 【思路点拨】直接根据题意表示出正方形的边长，进而得出答案． 【解析】解：由题意可得两正方形的边长分别为：＝2（cm），＝4（cm）， 故图中空白部分的面积为：2（4﹣2）＝（8﹣12）cm2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确表示出正方形边长是解题关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算×＝（　　） A．3 B．2 C．2 D． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则计