空间向量与立体几何章节复习校本讲义-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 编号013 §6.3.5　空间向量与立体几何章节复习 目标要求 1、复习本章各知识点． 2、总结本章各类题型． 3、总结本章所涉的各类思想方法和解题技巧． 学科素养目标 本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力． 本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间． 重点难点 重点：向量在立体几何中的综合应用； 难点：用向量求空间的角、距离及用向量判断空间线线、线面、面面关系． 教学过程 基础知识点 1．空间向量的概念 在空间，把具有______和_______的量叫作空间向量． 2．空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 空间 向量 的运 算 加法 a＋b＝＋＝_________ 减法 a－b＝－＝________ 数乘 当λ____0时，λa＝＝λ，当λ＝0时，λa＝0， 当λ_____0时，λa＝＝λ, 线性运 算的运 算律 (1)交换律：a＋b＝_______； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋_________，λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝_________， λ(a＋b)＝____________(λ，μ∈R). 3.空间向量的几个概念 (1)向量的________，_______和________运算统称为向量的线性运算． (2)如果表示空间向量的有向线段所在的直线________________，那么这些向量叫作_________或平行向量．向量a与b平行，记作___________． 4．向量共线的充要条件(共线向量定理) 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在_________，使a＝λb. 5. 两个向量的夹角 6．两个向量的数量积 7．投影向量 对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1，上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量________称为向量a在向量b上的投影向量． 8. 共面向量． 一般地，能________到同一平面内的向量叫作共面向量，显然，任意两个空间向量都是共面向量． 9．共面向量定理． 如果两个向量a，b___________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝____________． 这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示． 10. 空间向量基本定理 (1)定理： 如果空间中的三个向量a，b，c_____________，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组______________，使得p＝xa＋yb＋zc. (2)相关概念 如果三个向量e1，e2，e3_______________，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量． 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示． (3)推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得＝___________________． 11. 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系O­xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面和zOx平面． 12．向量a的坐标 在空间直角坐标系O­xyz中，对于空间任意一个向量a，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，有序实数组(a1，a2，a3)叫作向