8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(第1课时)-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(第1课时) 新知探索 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，可以得到它们的表面积公式. (是底面半径，是母线长) 新知探索 (是底面半径，是母线长) 新知探索 由相似可知，，所以 . (分别是上、下底面半径，是母线长) 新知探索 思考1：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 上底扩大 上底缩小 新知探索 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 (是底面半径，是高)， (是底面半径，是高). 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式(分别是上、下底面半径，是高). 新知探索 思考2：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 新知探索 (为底面积，为柱体高)； (为底面积，为锥体高)； (为上、下底面面积，为台体高). 当时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式. 新知探索 辨析1：判断正误. 1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.（ ） 2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （ ） 答案：√，×. 辨析2：若圆柱的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为( ). A. B. C. D. 答案：D. 练习 题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积 例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为的正方形，则该圆柱的表面积为( ). A. B. C. D. 答案：B. 解：因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为的正方形，所以圆柱的高为，底面圆的直径为，所以该圆柱的表面积为.故选B. 练习 例1.(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为_______. 答案：. 解：设母线长为，由题意得，所以母线长，又底面半径为，所以侧面积为. 练习 例1.(3)已知圆台的上、下底面半径分别是，，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为_______. 答案：. 解：设圆台母线长为，则由题意得，∴，∴，∴该圆台的母线长为. 练习 方法技巧： 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤： 1.得到空间几何体的平面展开图. 2.依次求出各个平面图形的面积. 3.将各平面图形的面积相加. 练习 变1.(1)圆柱的一个底面积是，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ). A. B. C. D. 答案：. 解：底面半径是，所以正方形的边长是，故圆柱的侧面积是.故选A. 练习 变1.(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ). A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 答案：. 解：由已知得，，故选D. 变1.(3)已知圆台的上、下底面半径分别是，，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的表面积是_______. 答案：. 解：设圆台母线长为，则由题意得，∴，∴，∴. 练习 题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积 例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积之比是( ). A. B. C. D. 答案：D. 解：设圆柱、圆锥的高都为底面半径分别为，，则有，所以，，故.故选D. 练习 例2.(2)设圆台的高为，如图，在轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为_____. 解：设上、下底面半径，母线长分别为，，. 作于点，则，. 又，∴，∴，∴ ，∴，∴，而 ∴ ∴圆台的体积为. 练习 方法技巧： 求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算. 练习 变2.(1)若圆台上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是( ). A. B. C. D. 答案：. 解：，,∴， ，∴∴. ∴.故选D. 练