2023年九年级中考数学频考点突破--相似三角形

2023年中考数学频考点突破-相似三角形 1.如图, 是半圆 的直径,过点 作弦 的垂线交 于 ,且交切线 于点 , 与半圆 交于点 ,连结 , . (1)求证: ; (2)若 , ,求 的长. 2.在△ABC和△ADE中,BA=BC,DA=DE,且∠ABC=∠ADE= ,点E在△ABC的内部,连接EC,EB和BD,并且∠ACE+∠ABE=90°. (1)如图1,当 =60°时,线段BD与CE的数量关系为 ,线段EA,EB,EC的数量关系为 ; (2)如图2当 =90°时,请写出线段EA,EB,EC的数量关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,当点E在线段CD上时,若BC= ,请直接写出△BDE的面积. 3.如图,反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点E、F,E( ,6),且E为BC的中点,D为x轴负半轴上的点. (1)求反比倒函数的表达式和点F的坐标; (2)若D(﹣ ,0),连接DE、DF、EF,则△DEF的面积是 . 4.如图,等边△ABC中,点D是BC上任意点,以AD为边作∠ADE=∠ADF=60°,分别交AC,AB于点E,F. (1)求证:AD2=AE×AC (2)已知BC=2,设BD的长为x,AF的长为y,求y关于x的函数表达式. 5.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心,以任意长为半径作AD,再分别以点A和点D为圆心,大于 AD长为半径做弧,交EF于点B,AB∥CD. (1)求证:四边形ACDB为△CFE的亲密菱形; (2)求四边形ACDB的面积. 6.如图,AB是⊙O的直径,C,D在⊙O上,且BC=CD,过C作CE⊥AD,交AD延长线于E,交AB延长线于F点, (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若AB=4ED,求cos∠ABC的值. 7.如图,矩形ABCD中,点E为AD边上一点,过点E作CE的垂线交AB于点F. (1)求证: ; (2)若 ,求 的长. 8.阅读理解:如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点. 解决问题: (1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由; (2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E; 拓展探究: (3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系. 9.已知矩形ABCD的一条边AD=4,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在边上的P点处. (1)如图1,已知折痕与边BC交于点0,连结AP、OP、OA.求证:△OCP∽△PDA; (2)若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长; (3)如图2,在(1)(2)的条件下,擦去折痕AO线段OP,连结BP,动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,直接写出线段EF的长度. 10.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC= °,BC= ; (2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论. 11.如图,抛物线y=ax2+bx(a>0,b<0)交x轴于O,A两点,顶点为B(2,-4). (1)求抛物线的解析式; (2)直线y=kx+m(k>0)过点B,且与抛物线交于另一点D(点D与点A不重合),交y轴于点C.过点D作DE⊥x轴于点E,连接AB,CE. ①若k=1,求△CDE的面积; ②求证:CE∥AB. 12.如图,在 中, 是 边上一点,以O为圆心, 长为半径的圆分别交 于点 ,点F是 边延长线上一点,连接 交 边于点G,且 . (1)求证: 是 的切线; (2)若 ,求 的度数; (3)如图2,在(2)的条件下,连接 交线段 于点M.若 ,求 的值. 13.如图,矩形中,,,动点从点出发,沿边以的速度向点匀速移动,动点从点出发,沿边以的速度向点匀速移动,一个动点到达端