数学思想解题练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 数学思想解题练 （原卷+答案） 数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中． 一　函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 例1 记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 对 接 训 练 1.f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝________． 二　数形结合思想 以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解) 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 例2 双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos ∠F1NF2＝，则C的离心率为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 对 接 训 练 2.已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 三　分类讨论思想 分类讨论的原则 分类讨论的常见类型 (1)不重不漏 (2)标准要统一，层次要分明 (3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论 (1)由数学概念而引起的分类讨论 (2)由数学运算要求而引起的分类讨论 (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论 (5)由参数的变化而引起的分类讨论 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略 例3 设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为________． 对 接 训 练 3.设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________． 四　转化与化归思想 转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法 (1)熟悉化原则　(2)简单化原则　(3)直观化原则　(4)正难则反原则 (1)直接转化法　(2)换元法　(3)等价转化法　(4)构造法　(5)正难则反法 转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法 例4 已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，试求m的最大值． 对 接 训 练 4.(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B. g(－)＝0 C. f(－1)＝f(4) D. g(－1)＝g(2) 参考答案 一　函数与方程思想 [例1]　解析：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－. 当n＝1时，a1＝S1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－，∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1. 等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1， ∴an－an－1＝1. ∴{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)可得an＝a1＋(n－1)． ∴a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8. ∵a4，a7，a9成等比数列＝a4·a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，∴a1＝－12， ∴Sn＝na1＋×1＝－12n＋＝n2－n. 当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，为×122－×12＝