专题4.13 探索三角形全等的条件（ASA和AAS）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.13 探索三角形全等的条件（ASA和AAS） （知识讲解） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等． 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 要点二、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【典型例题】 类型一、用ASA(AAS)证明三角形全等➽➼证明✮✮求值 1．如图，点E在边AC上，已知，，． 求证： (1) ； (2) ． 【分析】（1）由“”可证． （2）根据全等三角形的性质可得，，根据线段的和差即可得解． （1）证明：∵ ∴ 在和中 ∴（） （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵ ∴ 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键证明． 举一反三： 【变式1】如图，在中，，，点是内部一点，连接，作，，垂足分别为点，． (1) 证明：； (2) 若，，求的长． 【答案】(1) 见分析 (2) 【分析】（1）根据同角的余角相等得，由“”即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，即可求解． 解：（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 【变式2】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E． (1) 请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明． (2) 如果将直线绕点C进行旋转，其它条件不变，（1）中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形． 【答案】(1)△ACD≌△CBE，见分析； (2)全等，见分析 【分析】（1）利用AAS证明△ACD≌△CBE即可； （2）先画出图形，再用AAS证明△ACD≌△CBE即可． （1）解：全等三角形为：△ACD≌△CBE. 证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE 在△ACD与△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）解：（1）中的两个三角形还全等，即△ACD≌△CBE， 如图， 理由：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC=∠CEB=90°，， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ACD与△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； 【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．如图，中，是边的中点，点在上，作交的延长线于点． (1) 求证：． (2) 若于点，，，，求点到的距离． 【答案】(1) 见分析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定，即可求得． （2）根据全等三角形的性质可得，因为直角三角形的面积有两种求法，从而求得点到的距离． （1）解：∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴在和， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三