专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS和SAS）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS和SAS）（知识讲解） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 特别说明：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 特别说明：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】 类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值 1．如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点． (1) 求证：△ABD≌△ACD； (2) 若∠BED＝50°，求∠CED的度数． 【答案】(1) 证明见分析 (2) 【分析】（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD； （2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案． （1）证明：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）； （2） 解：∵△ABD≌△ACD， ∴∠ADB＝∠ADC，在△EDB和△EDC中， ， ∴△EDB≌△EDC（SAS）， ∴∠BED＝∠CED， ∵∠BED＝50°， ∴∠CED＝∠BED＝50°． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质． 举一反三： 【变式1】如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【分析】根据，，，利用定理证明，从而得到，再根据内错角相等，两直线平行，得证． 解：证明：∵ ∴ ∴ 在和中 ， ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行） 【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等． 【变式2】如图，已知，，，求证：. 【分析】利用SSS可证明△ABD≌△ACE，可得∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，根据三角形外角的性质即可得∠3=∠BAD+∠ABD，即可得结论. 解：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2， ∵∠3=∠BAD+∠ABD， ∴∠3=∠1+∠2. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键. 2．已知：如图，，F，E分别是的中点，求证：． 【分析】直接利用全等三角形的判定方法，进而得出答案． 证明：∵F，E是的中点， ∴，， ∵， ∴． 在与中， ， ∴． 【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 举一反三： 【变式1】如图，点D在上，． (1) 添加条件：____________（只需写出一个），使； (2) 根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2) 见分析 【分析】（1）根据已知条件可得，，结合三角形全等的判定条件添加条件即可； （2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可． 解：（1）添加的条件是：, 故答案为； （2）∵ ∴， ∵ ∴，即， 又 ∴ 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键． 【变式2】如图所示，，，，，求证： (1) ； (2) ． 【分析】（1）利用判定定理证明三角形全等即可； （2）由，可得，，再利用，可得，即， 所以． 解：（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：由（1）可知， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质． 类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值 3．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求证：△ABC≌△DEF． 【分析】首