2023年九年级中考数学高频考点突破——二次函数与四边形综合

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与四边形综合 1.如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是抛物线上的动点,且满足S△PAO=2S△PCO,求出P点的坐标; (3)连接BC,点E是x轴一动点,点F是抛物线上一动点,若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标. 2.如图1,抛物线y=x2﹣(a+1)x+a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴负半轴交于点C,若AB=4. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,E是第三象限内抛物线上的动点,过点E作EF∥AC交抛物线于点F,过E作EG⊥x轴交AC于点M,过F作FH⊥x轴交AC于点N,当四边形EMNF的周长最大值时,求点E的横坐标; (3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q,使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分?如果存在,求点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 3.我们不妨规定:关于x的反比例函数y=称为一次函数y=ax+b的“次生函数”,关于x的二次函数y=ax2+bx﹣(a+b)称为一次函数y=ax+b的“再生函数”. (1)求出一次函数y=﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标; (2)若关于x的一次函数y=x+b的“再生函数”的顶点在直线y=x+b上,求b的值; (3)若关于x的一次函数y=ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A,B,其“再生函数”经过点(﹣2,3),且与x轴从左至右依次交于点C,D,记四边形ACBD的面积为S,其中a>2b>0,判断是否为定值,若为定值,请说明理由;若不为定值,试确定其取值范围. 4.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B,C,已知点A和C的坐标分别是(﹣4,0)和(0,4),点P在抛物线y=﹣x2+bx+c上. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)如图2,当点P在线段AC的上方,点P的横坐标记为t,过点P作PM⊥AC于点M,当PM=时,求点P的坐标; (3)若点E是抛物线对称轴上与点D不重合的一点,F是平面内的一点,当四边形CPEF是正方形时,求点P的坐标. 5.如图,直线y=﹣x+4与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A,B两点,点A在y轴上,点B在x轴上. (1)求抛物线的解析式; (2)在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得∠ABP=90°,求出点P坐标; (3)点E是抛物线对称轴上一点,点F是抛物线上一点,是否存在点E和点F使得以点E,F,B,O为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为点E. (1)求抛物线的解析式; (2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当点P运动到点E时,求△PCD的面积; (3)点N在抛物线对称轴上,点M在x轴上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由. 7.如图,抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A(1,0)、B(b,0)、C(0,c)三点. (1)求b,c的值; (2)在抛物线对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标; (3)点M为x轴上一动点,抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C (0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H. (1)求该抛物线的解析式. (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值. (3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,四边形AODF的面积为S. ①求S与m的函数关系式. ②S是否存在最大值,若存在,求出最大值及此时点E的坐标,若不存在,请说明理由. 9.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,A(2,1). (1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式; (3)在(2)所求的抛物线上,是否存在一点P,使四边形ABOP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 10.如图1,抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,点P