5.4.3正切函数的性质与图象 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

现 在 是 数 学 时 间 5.4.3　正切函数的性质与图像 教师：李越琪 2 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究. 导语 问题1　请同学们回忆角的正切是如何定义的？ 问题2　角α是任意的吗？ 问题3　由以上，你能定义正切函数吗？ 问题4　你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？ 提示　tan(π＋α)＝tan α，tan(－α)＝－tan α. y x O 一、正切函数y=tan x的性质 一、正切函数y=tan x的性质 一、正切函数y=tan x的性质 正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象会有什么帮助？ y x O B T M A(1,0) x 二、正切函数y=tan x的图象 x y 1 -1 知识点　正切函数的图象与性质 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=tan x在其定义域上是增函数.(　　) (2)函数y=tan x的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).(　　) (3)函数y=tan 2x的周期为π.(　　) × × × 2.正切曲线是中心对称图形吗?若是,对称中心是什么?是轴对称图形吗? 提示正切曲线是中心对称图形,对称中心为 (k∈Z),不是轴对称图形. 探究点一 正切函数的定义域与值域问题 【例1】 求下列函数的定义域和值域: 规律方法　求正切函数定义域的方法及注意点: (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解. (2)解形如tan x>a的不等式的步骤: 变式训练1 求函数y= 的定义域. 探究点二 正切函数的单调性及其应用 角度1求正切函数的单调区间 规律方法　y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解- +kπ<ωx+φ< +kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 变式训练2 角度2比较大小 【例3】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小. 规律方法　运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; (2)运用单调性比较大小关系. 变式训练3 探究点三 正切函数的周期性与奇偶性 (2)已知函数f(x)=asin x+btan x+2 021,若f(2 022)=-1,求f(-2 022)的值. (2)令g(x)=asin x+btan x,则f(x)=g(x)+2 021.因为x∈R, g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),所以g(x)是奇函数. 因为f(2 022)=g(2 022)+2 021=-1, 所以g(2 022)=-2 022,则g(-2 022)=2 022, 故f(-2 022)=g(-2 022)+2 021=2 022+2 021=4 043. 规律方法　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性: (1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T= ,常利用此公式来求与正切函数有关的周期. (2)函数y=tan x是奇函数,其图象关于原点对称.若函数y=tan(ωx+φ)是奇函数,则φ= (k∈Z). 变式训练4 A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 答案 (1)A　(2)±2　 探究点四 正切函数图象与性质的综合应用 (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心; (2)作出函数f(x)在一个最小正周期内的简图. 变式训练5 画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 其图象如图. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)正切函数的图象的画法. (2)正切函数的性质. (3)正切函数图象和性质的应用. 2.方法归纳:整体代换、换元法. 学以致用•随堂检测全达标 答案 C　 答案 C　 答案 B　 答案 >　 提示　＝tan α. 提示　α≠＋kπ，k∈Z. 提示　y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z. (1)f(x)=tan; (2)f(x)=.