模型38 圆——垂径定理模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，CD是直径，CD⊥AB，则①MA＝MB，②＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧. 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个. 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 如图： 找残缺圆的圆心方法：知二推三组合 作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为O 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．6 2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（    ） A． B．3 C．4 D．5 3．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图，是⊙的直径，弦于点，，⊙的半径为，则弦的长为（    ） A．3 B． C． D．9 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（　　） A．3 B． C． D．2 3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（    ） A． B． C．1 D．2 1．（2016·陕西·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，过B作BC⊥AB交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过E作EF∥BC交DC 的延长线与点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．． 求证：（1）FC=FG （2）AB2=BC•CG． 2．（2019·安徽·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，CD是直径，CD⊥AB，则①MA＝MB，②＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧. 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个. 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 如图： 找残缺圆的圆心方法：知二推三组合 作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为O 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据垂径定理可知AB垂直平分CD，连接OC，根据勾股定理即可求出半径OC，最后求出直径即可． 【详解】解：如图，连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴， 设⊙O的半径为r， ∵点P为OB中点， ∴， 在种，由勾股定理可得：， 即：，解得：r=或：r=（舍）， ∴直径为． 故选∶C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解题的关键． 2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得,再利用勾股定理直接求得的长，即可得出答案． 【详解】解：设半径为， ， ， 根据垂径定理得： ， ， 在中， ， ， ， 解得 ， 即的半径为5． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算． 3．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一