第二部分 题型四 阅读与思考（精练册）-【一战成名】2023山西中考数学中考源动力中考总复习

一战成名·山西数学 题 型 四 阅 读 与 思 考 题型四　阅读与思考（２０２２．２０，２０２１．２０，２０１９．２１，２０１８．２１，２０１６．１９，２０１４．１９） １．（２０２２山西百校联考一）阅读下面材料，解答 提出的问题． 　　德国著名数学家高斯（Ｇａｕｓｓ）在上小 学时就已求出计算公式１＋２＋３＋… ＋ｎ ＝ｎ（ｎ＋１）２ ．其推导方法如下： 设ｓ＝１＋２＋３＋…＋ｎ，① 则ｓ＝ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋… ＋ １．② 由①＋②，得２ｓ＝ ＝ｎ（ｎ＋１）， 所以，ｓ＝ｎ（ｎ＋１）２ ， 即１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）２ ． （１）请利用上述公式计算１＋２＋３＋… ＋５０ ＝　１２７５　； （２）类比上述方法并证明：１＋３＋５＋… ＋ （２ｎ－１）＝ｎ２； （３）若２＋４＋６＋… ＋２ｎ＝６５０（其中 ｎ为正 整数），直接写出ｎ的值． 解：（１）１２７５； （２）设ｓ＝１＋３＋５＋…＋（２ｎ－１），① 则ｓ＝（２ｎ－１）＋（２ｎ－３）＋（２ｎ－５）＋… ＋１．② 由①＋②得２ｓ＝＝ｎ×２ｎ＝２ｎ２． 所以，ｓ＝２ｎ ２ ２ ＝ｎ ２， 即１＋３＋５＋…＋（２ｎ－１）＝ｎ２； （３）ｎ＝２５． ２．阅读与思考 请仔细阅读材料，并完成相应任务． 好学善思的小明和小亮同学阅读数学课 外书时，看到这样一道题： 解关于ｘ的不等式：ｘ＋１３ｘ－２＞０． 两位同学认为这道题虽然没学过，但是可 以用已学的知识解决． 小明的方法： 根据“两数相除，同号得正”，可以将原不 等式转化为 ｘ＋１＞０， ３ｘ{ －２＞０或 ｘ＋１＜０，３ｘ－２＜０{ ， 解得…… 小亮的方法： 将原不等式两边同时乘（３ｘ－２），得 ｘ＋１ ＞０， 解得…… 任务一：你认为小明和小亮的方法正确吗？ 若正确请补充完整解题过程；若不正确，请说 明理由； 任务二：请尝试利用已学知识解关于 ｘ的不 等式： ｘ－２ ｘ＋３＜２． 解：任务一：小明的方法正确， 根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等 式转化为 ｘ＋１＞０， ３ｘ{ －２＞０或 ｘ＋１＜０，３ｘ－２＜０{ ， 解得ｘ＞２３或ｘ＜－１； 小亮的方法错误，不符合不等式的性质． 任务二： ｘ－２ ｘ＋３＜２， 整理得 ｘ－２ ｘ＋３－２＜０，即 ｘ＋８ ｘ＋３＞０， 根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等 式转化为 ｘ＋８＞０， ｘ{ ＋３＞０或 ｘ＋８＜０，ｘ＋３＜０{ ， 解得ｘ＞－３或ｘ＜－８                                                                    ． ５４１ 一战成名·山西数学 题 型 四 阅 读 与 思 考 ３．（２０２２山西２０题８分）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读 并完成相应的任务． 用函数观点认识一元二次方程根的情况 　　我们知道，一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ ＝０（ａ≠０）的根就是相应的二次函数 ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象（称为抛物线） 与ｘ轴交点的横坐标．抛物线与 ｘ轴的交 点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 无交点．与此相对应，一元二次方程的根 也有三种情况：有两个不相等的实数根、 有两个相等的实数根、无实数根．因此可 用抛物线与ｘ轴的交点个数确定一元二次 方程根的情况． 下面根据抛物线的顶点坐标（－ｂ２ａ， ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ）和一元二次方程根的判别式Δ＝ ｂ２－４ａｃ，分别从ａ＞０和ａ＜０两种情况进 行分析： （１）ａ＞０时，抛物线开口向上． ①当Δ＝ｂ２－４ａｃ＞０时，有４ａｃ－ｂ２＜ ０．∵ａ＞０，∴顶点纵坐标４ａｃ－ｂ ２ ４ａ ＜０． ∴顶点在 ｘ轴的下方，抛物线与 ｘ轴 有两个交点（如图①）． ∴一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠ ０）有两个不相等的实数根； ②当Δ＝ｂ２－４ａｃ＝０时，有４ａｃ－ｂ２＝ ０．∵ａ＞０，∴顶点纵坐标４ａｃ－ｂ ２ ４ａ ＝０． ∴顶点在 ｘ轴上，抛物线与 ｘ轴有一 个交点（如图②）． ∴一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠ ０）有两个相等的实数根； ③当Δ＝ｂ２－４ａｃ＜０时， …… （２）ａ＜０时，抛物线开口向下． …… 任务：（１）上面小论文中的分析过程，主要运 用的数学思想是　ＡＣ或（ＡＤ或 ＣＤ）　 （从下面选项中选出两个即可）； 　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　Ａ．数形结合 Ｂ．统计思想 Ｃ．分类讨论 Ｄ．转化思想 （２）请参照小论文中当 ａ＞０时①②的分析 过程，写出③中当ａ＞０，Δ＜０时，一元二 次方程根的情况的分析过程，并画出相 应的示意图； （３）实