【技巧归纳+能力拓展】专项训练五 解析几何（考点4 解析几何中的探索性问题）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项五 解析几何 考点4 解析几何中的探索性问题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切. (1)求C,☉M的方程; (2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由. 【拆解1】已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,求C的方程. 【解析】由题意知P(1,1),所以C的方程为y2=x. 【拆解2】已知直线l:x=1,点M(2,0),且☉M与l相切,求☉M的方程. 【解析】因为圆M与直线l相切,所以圆M的半径即圆心M到直线l的距离,故半径为1,因此圆M的方程为(x-2)2+y2=1. 【拆解3】已知抛物线C的方程为y2=x,圆M的方程为(x-2)2+y2=1,设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判段直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由. 【解析】设A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),当点A1为坐标原点,点A2,A3的横坐标的值均为3时,满足条件,且此时直线A2A3与☉M也相切. 当x1≠x2≠x3时,直线A1A2的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0,此时有=1,即(-1)+2y1y2+3-=0,同理可得(-1)+2y1y3+3-=0,所以y2,y3是方程(-1)t2+2y1t+3-=0的两根.由题意知,直线A2A3的方程为x-(y2+y3)y+y2y3=0,令点M到直线A2A3的距离为d,则有d2===1,此时,直线A2A3与☉M也相切. 综上,直线A2A3与☉M相切. 小做 变式训练 已知点P为椭圆W:+y2=1(m>0)上任一点,椭圆W的一个焦点坐标为(-,0). (1)求椭圆W的标准方程; (2)若点Q是抛物线C:x2=2my的准线上的任意一点,以PQ为直径的圆过原点O,试判断+是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 【拆解1】已知点P为椭圆W:+y2=1(m>0)上任一点,椭圆W的一个焦点坐标为(-,0),求椭圆W的标准方程. 【解析】因为椭圆W:+y2=1的一个焦点坐标为(-,0), 所以-1=()2=2,所以m2=6, 因为m>0,所以m=. 所以椭圆W的标准方程为+y2=1. 【拆解2】已知m=,求抛物线C:x2=2my的准线. 【解析】因为m=,所以抛物线C的标准方程为x2=2y,所以其准线方程为y=-. 【拆解3】已知点P为椭圆W:+y2=1上任一点,若点Q是直线y=-上的任意一点,以PQ为直径的圆过原点O,试判断+是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 【解析】设P(xP,yP),Q(xQ,-), 因为以PQ为直径的圆过原点, 所以OP⊥OQ,所以xP≠0, 所以xPxQ-=0,即xQ=, 所以+=+=, 又因为+=1,所以=1-, 所以==1, 所以+为定值,且定值为1. 技巧归纳 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论. 突破 实战训练 <基础过关> 1.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM和BM的斜率之积为-,记M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)在第一象限内,曲线C上是否存在点P,使得∠PBA=2∠PAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由题意可得,kAM·kBM=·==-(x≠±2), 化简可得+y2=1(x≠±2), 故曲线C的方程为+y2=1(x≠±2). (2)设P(x,y)(x>0,y>0),且+y2=1(x≠±2),　① tan∠PBA=,tan∠PAB=, 因为∠PBA=2∠PAB,所以tan∠PBA=tan 2∠PAB, 即=, 化简可得3x2+4x-y2-4=0,　② 由①②可得13x2+16x-20=0,解得x=或x=-2(舍去),此时y=, 所以第一象限内曲线C上存在点P(,)使得∠PBA=2∠PAB. 2.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,焦距为4. (1)求该椭圆的标准方程; (2)过该椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A,B两点,P为直线x=3上的一点,是否存在直线l与点P,使得△ABP恰好为等边三角形?若存在,求出△ABP的面积;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)依题意知,=,c=2,