【技巧归纳+能力拓展】专项训练五 解析几何（考点3 解析几何中的定点、定值问题）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项五 解析几何 考点3 解析几何中的定点、定值问题 大题 拆解技巧 【母题】(2020年全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程; (2)证明:直线CD过定点. 【拆解1】已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.求E的方程. 【解析】由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1), 则=(a,1),=(a,-1). 由·=8得a2-1=8,即a=3. 所以E的方程为+y2=1. 【拆解2】已知条件不变,证明:直线CD过定点. 【解析】通过已知条件可求得椭圆的方程为+y2=1. 设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t), 若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n, 由题意可知-3<n<3. 因为直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3), 又直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3). 整理得3y1(x2-3)=y2(x1+3). 由+=1,得=-,整理得27y1y2=-(x1+3)(x2+3), 即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.　① 将x=my+n代入+y2=1,得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0, 则Δ=4m2n2-4(m2+9)(n2-9)=36(m2-n2+9)>0, 所以y1+y2=-,y1y2=. 代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2·(m2+9)=0,解得n=-3(舍去)或n=. 故直线CD的方程为x=my+,即直线CD过定点(,0). 若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(,0). 综上,直线CD过定点(,0). 小做 变式训练 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为C的右顶点和上顶点,若△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍,且·=3. (1)求C的标准方程; (2)若过点(,0)且斜率不为0的直线与C交于M,N两点,点P在直线x=6上,且NP与x轴平行,求证:直线MP恒过定点. 【拆解1】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为C的右顶点和上顶点,若△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍,且·=3,求C的标准方程. 【解析】设椭圆C的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0),因为点A,B分别为C的右顶点和上顶点,所以A(a,0),B(0,b),则=(a+c,0),=(c,b).又△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍,且·=3,所以解得 则b==. 所以C的标准方程为+=1. 【拆解2】已知椭圆C的标准方程为+=1,若过点(,0)且斜率不为0的直线与C交于M,N两点,点P在直线x=6上,且NP与x轴平行,求证:直线MP恒过定点. 【解析】椭圆C的标准方程为+=1,设直线MN的方程为x=my+,M(x1,y1),N(x2,y2),则P(6,y2).由消去x,整理得(3m2+4)y2+4my-=0, ∴y1+y2=,y1y2=, ∴my1y2=(y1+y2). 又直线MP的方程为y-y2=(x-6),令y=0,得x-6=. ∵x1=my1+, ∴x-6====-,则x=, 故直线MP恒过定点(,0). 技巧归纳 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法: ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②引起变量法:其解题流程为 变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 　↓ 函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 　↓ 定值→把得到的函数化简,消去变量得到定值 突破 实战训练 <基础过关> 1.已知椭圆E:+=1(a>b>0),其短轴长为2,离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)设椭圆E的右焦点为F,过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M,N两点,设直线FM和FN的斜率分别为k1,k2,试判断k1+k2是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由. 【解析】(1)由题意可知,2b=2,b=1,椭圆的离心率e===,则a=