【技巧归纳+能力拓展】专项训练五 解析几何（考点2 解析几何中的最值和取值范围问题）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项五 解析几何 考点2 解析几何中的最值和取值范围问题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. 【拆解1】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4,求p. 【解析】由题意知,抛物线C的焦点为F(0,),|FM|=+4, 所以焦点F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为+4-1=4,解得p=2. 【拆解2】已知条件不变,抛物线C的方程为x2=4y,若点P(x0,y0)在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求直线AB的方程. 【解析】因为抛物线C的方程为x2=4y,即y=,所以对该函数求导得y'=, 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=-y1,即x1x-2y1-2y=0, 同理可知,直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0. 因为点P为这两条直线的公共点, 所以 所以点A,B的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0, 所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0. 【拆解3】已知条件不变,且直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.求△PAB面积的最大值. 【解析】因为直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0, 所以联立可得x2-2x0x+4y0=0, 由韦达定理可得x1+x2=2x0,x1x2=4y0, 所以 |AB|=·=·=, 又因为点P到直线AB的距离d=, 所以S△PAB=|AB|·d=·=(-4y0. 因为-4y0=1-(y0+4)2-4y0=--12y0-15=-(y0+6)2+21,又-5≤y0≤-3, 所以当y0=-5时,△PAB的面积取得最大值,最大值为×2=20. 小做 变式训练 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为P,过点Q(1,0)且与x轴不重合的直线交圆P于M,N两点,过点Q作MP的平行线交PN于点E. (1)证明|EP|+|EQ|为定值,并写出点E的轨迹R的方程. (2)已知点A(-2,0),B(2,0),过点P(-1,0)的直线l与曲线R交于C,D两点.记△ABD和△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值. 【拆解1】设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为P,过点Q(1,0)且与x轴不重合的直线交圆P于M,N两点,过点Q作MP的平行线交PN于点E.证明|EP|+|EQ|为定值. 【解析】因为|PN|=|MP|,EQ∥PM,所以∠EQN=∠PMN=∠PNM,所以|EQ|=|EN|, 故|EP|+|EQ|=|EP|+|EN|=|PN|. 又圆P的标准方程为(x+1)2+y2=16,所以|PN|=4,所以|EP|+|EQ|=4. 【拆解2】已知条件不变,|EP|+|EQ|=4,写出点E的轨迹R的方程. 【解析】由题设得P(-1,0),Q(1,0),则|QP|=2,因为|EP|+|EQ|=4>2,所以该轨迹为椭圆,故由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0). 【拆解3】已知曲线R的方程为+=1(y≠0),点A(-2,0),B(2,0),过点P(-1,0)的直线l与曲线R交于C,D两点.记△ABD和△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值. 【解析】当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1, 此时△ABD和△ABC的面积相等,故|S1-S2|=0; 当直线l的斜率存在时,设直线的方程为y=k(x+1)(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2), 联立方程组消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以Δ>0,且x1+x2=-,x1x2=,此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=, 因为k≠0,所以=≤==,当且仅当k=±时等号成立, 所以|S1-S2|的最大值为. 通法 技巧归纳 圆锥曲线中的最值问题的解决方法一般分两种: 一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值; 二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 突破 实战训练 <基础过关> 1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(0,1)在椭圆上,△F1PF2是直角三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)如图