【技巧归纳+能力拓展】专项训练五 解析几何（考点1 解析几何中的轨迹方程的求法）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项五 解析几何 考点1 解析几何中的轨迹方程的求法 大题 拆解技巧 【母题】(2021年新高考全国Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2,记M的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【拆解1】在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),|MF1|-|MF2|=2,点M的轨迹为C,求C的方程. 【解析】因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2, 所以轨迹C是以点F1,F2为左、右焦点的双曲线的右支. 设轨迹C的方程为-=1(a>0,b>0),则2a=2,可得a=1,b==4, 所以轨迹C的方程为x2-=1(x≥1). 【拆解2】已知双曲线的轨迹方程为x2-=1(x≥1).设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,设直线AB的斜率为k1,设直线PQ的斜率为k2,分别求|TA|·|TB|,|TP|·|TQ|的值. 【解析】设点T(,t),若过点T的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线C无公共点, 不妨设直线AB的方程为y-t=k1(x-)(k1≠0),即y=k1x+t-k1,联立消去y并整理可得(-16)x2+k1(2t-k1)x+(t-k1)2+16=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≥1且x2≥1. 由韦达定理可得x1+x2=,x1x2=,所以|TA|·|TB|=(1+)·|x1-|·|x2-|=(1+)·(x1x2-+)=. 设直线PQ的斜率为k2(k1≠k2,k2≠0),同理可得|TP|·|TQ|=. 【拆解3】已知|TA|·|TB|=,|TP|·|TQ|=,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【解析】因为|TA|·|TB|=,|TP|·|TQ|=且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,即=,整理可得=, 即(k1-k2)(k1+k2)=0,显然k1-k2≠0,故k1+k2=0. 因此直线AB与直线PQ的斜率之和为0. 小做 变式训练 已知线段QR的长等于3,两端点Q和R分别在x轴和y轴上滑动,点S在线段QR上,且=2,点S的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)曲线C与x轴相交于A,B两点,P为曲线C上一动点,PA,PB与直线x=3交于M,N两点,△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为L1,L2,求的最小值. 【拆解1】已知线段QR的长等于3,两端点Q和R分别在x轴和y轴上滑动,点S在线段QR上,且=2,点S的轨迹为曲线C.求曲线C的方程. 【解析】设S(x,y),Q(x0,0),R(0,y0),∵|QR|=3,∴+=9,　① ∵=2,∴(x,y-y0)=2(x0-x,-y), ∴ 代入①式得点S的轨迹曲线C的方程为+y2=1. 【拆解2】已知曲线C的方程为+y2=1,曲线C与x轴相交于A,B两点,P为曲线C上一动点,PA,PB与直线x=3交于M,N两点,设直线PA的斜率为k,求|MN|的长度. 【解析】由己知得A(-2,0),B(2,0), 设椭圆C上动点P的坐标为(x,y)(y≠0),则利用两点连线的斜率公式可知kPA=,kPB=,∴kPA·kPB=·====-, 直线PA的方程为y=k(x+2),则直线PB的方程为y=-(x-2),根据对称性设k>0, 令x=3,得yM=5k,yN=-,即M(3,5k),N(3,-),则|MN|=5k+. 【拆解3】已知条件不变,且|MN|=5k+,设△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为L1,L2,求的最小值. 【解析】由拆解2知,|MN|=5k+,设△PMN,△PAB的外接圆的半径分别为r1,r2, 由正弦定理得2r1=,2r2=, 又∵∠MPN+∠APB=180°,∴sin∠MPN=sin∠APB,∴====≥=,当且仅当5k=,即k=时等号成立,即的最小值为. 通法 技巧归纳 求轨迹方程的常用方法 1.直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何的有关公式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程. 2.定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨迹方程. 3.相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可