专题九 证明题--专题综合训练-【中考档案B版】2023青岛数学配套word文档

专题九 证明题 〖专题综合训练〗 1.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD. (1)求证：AB=AF. (2)若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论. 2.(2022·山东滨州)如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF=120°,且边EF与直线DC的延长线相交于点F． (1)求菱形ABCD的面积. (2)求证:AE=EF． 3. (2022·山东泰安)如图，在正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于点E，点F在DP的延长线上，且DE=EF，连接AF，BF，∠BAF的平分线交DF于点G，连接GC． (1)求证：△AEG是等腰直角三角形. (2)求证：AG+CG=DG. (3)若AB=2，P为AB的中点，求BF的长． 4.(2022·山东威海)(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图①叠放． ①判断四边形AGCH的形状，并说明理由. ②求四边形AGCH的面积． (2)如图②，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积． 图① 图② 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题九 证明题 〖专题综合训练〗 答案 1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BF∥CD，AB=CD， ∴∠AFG=∠DCG. ∵GA=GD，∠AGF=∠DGC， ∴△AGF ≌△DGC(AAS)， ∴AF=CD， ∴AB=AF. (2)解：四边形ACDF是矩形. 证明：∵AF=CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=120°， ∴∠FAG=60°. ∵AB=AG=AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=GF. ∵△AGF ≌△DGC， ∴FG=CG. ∵AG=GD，∴AD=CF， ∴四边形ACDF是矩形. 2.(1)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，且AO=CO，BO=DO. ∵∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°,∠AOB=90°. ∵AB=10， ∴AO=AB·sin 30°=5，BO =AB·cos 30°=5， ∴AC=2AO=10，BD=2BO=10， ∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×10×10=50. (2)证明：如图，连接EC. 设∠BAE的度数为x. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x. ∵∠ABD=30°， ∴∠AED=∠CED=30°+x， ∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-(30°+x)=90°-x. ∵∠BDC=∠ADC=30°， ∴∠EFC=180°-(∠DEF+∠BDC)=180°-(90°-x+30°)=x+60°. ∵∠CED=30°+x， ∴∠ECD=180°-(∠CED+∠BDC)=180°-(30°+x+30°)=120°-x， ∴∠ECF=180°-∠ECD=180°-(120°-x)=x+60°， ∴∠EFC=∠ECF， ∴EF=EC. ∵AE=CE， ∴AE=EF． 3.(1)证明：∵DE=EF，AE⊥DF， ∴AF=AD， ∴∠AFD=∠ADF. ∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°， ∴∠AFD=∠PAE. ∵AG平分∠BAF， ∴∠FAG=∠GAP． ∵∠AFD+∠FAE=90°， ∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°, ∴2∠GAP+2∠PAE=90°， 即∠GAE=45°， ∴△AEG是等腰直角三角形. (2)证明：如图①,过点C作CH⊥DP，交DP于点H， 则∠DHC=90°． 图① ∵AE⊥DP， ∴∠AED=90°， ∴∠AED=∠DHC． ∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°， ∴∠ADE=∠DCH． 在△ADE和△DCH中， ∴△ADE ≌△DCH(AAS)， ∴CH=DE，DH=AE=EG, ∴EH+EG=EH+DH，即GH=DE， ∴GH=CH， ∴CG=GH． ∵AG=EG， ∴AG=DH， ∴AG+CG=DH+GH， ∴AG+CG=(DH+GH)， 即AG+CG=DG． (3)解：如图②，过点F作FN⊥CD交AB,CD分别于点M,N，则四边形AMND是矩形， ∴AD∥FN，MN=AD=2. ∵P为AB的中点，AB=2，∴AP=AB=1. ∵AD∥FN， ∴∠DFN=∠ADF， ∴tan∠ADP=tan∠DFN， ∴===. 设MB=x，则PM=1－x，FM=2PM=2－2x.