(练习)27 课时分层训练(二十) 一元线性回归模型及其应用(第2课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

课时分层训练(二十)

一元线性回归模型及其应用(第2课时)

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差

B．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学

C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

D．在经验回归方程＝0.1x＋10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量多增加0.1个单位

CD　解析：对于A，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故A错误．对于B，6月9日本地降水概率为90%，只是表明下雨的可能性是90%，有可能这天不下雨，不能说明天气预报并不科学，故B错误．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确．在经验回归方程＝0.1x＋10中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y增加0.1个单位，故D正确．故选CD．

2．若某地财政收入x与支出y满足经验回归方程＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5．如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过(　　)

A．10亿元  B．9亿元  C．10.5亿元  D．9.5亿元

C　解析：代入数据可得y＝10＋e，因为|e|≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，故不会超过10.5亿元．

3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2，如下表：

试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的是(　　)

A．甲  B．乙  C．丙  D．丁

D　解析：从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．

4．在回归分析中，决定系数R2的值越小，说明残差平方和(　　)

A．越小  B．越大  C．可能大也可能小  D．以上都不对

B　解析：用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，而用残差平方和判断模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．由此可知决定系数R2的值越小，说明残差平方和越大．故选B．

5．关于x与y，有如下数据：

有如下的两个模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17．通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好，则R________R，Q1________Q2．(用“>”或“<”填空，R，Q分别是决定系数和残差平方和)

>　<　解析：由决定系数R2的性质可得R2越大模型的拟合效果越好，所以R>R．

由残差的性质可得，残差平方和越小模型的拟合效果越好，所以Q1<Q1．

6．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝2e2x＋1的图象附近，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝mx＋n，则mn＝________．

2ln 2＋2　解析：由z＝ln y，则ln y＝ln(2e2x＋1)，即z＝ln 2＋ln e2x＋1＝ln 2＋2x＋1，

则z＝2x＋ln 2＋1．故m＝2，n＝ln 2＋1，所以mn＝2ln 2＋2．

7．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图象附近，令u＝ln y，则可通过转换得到的经验回归方程为___________________________________________________________________．

＝1＋ln 3＋2x　解析：由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，即ln y＝ln 3＋2x＋1．

又＝ln y，则经验回归方程＝1＋ln 3＋2x．

1．已知变量y关于x的经验回归方程为＝ebx－0.5，其一组数据如下表所示：

若x＝5，则预测y的值可能为(　　)

A．e5  B．e  C．e7  D．e

D　解析：由＝ebx－0.5，得ln ＝bx－0.5，令z＝ln ，则z＝bx－0.5．

＝＝2.5，＝＝3.5．

∵(，)满足z＝bx－0.5，∴3.5＝b×2.5－0.5，

解得b＝1.6．∴z＝1.6x－0.5，∴y＝e1.6x－0.5．当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e．故选D．

2．已知某组数据采用了四种不同的经验回归方程进行回归分析，决定系数分别为0.97，0.83，0.32，0.17，则拟合效果最好的回归模型对应的决定系数R2的值是(　　)

A．0.97  B．0.83  C．0.31  D．0.17

A　解析：两个变量y与x的回归模型中，它们的决定系数R2越大，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.97是决定系数最大的值，所以选项A对应的回归模型拟合效果最好．故选A．

3．x和y的散点图如图所示，则下列说法中：①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用y＝c1e拟合时的决定系数为R，用＝x＋拟合时的决定系数为R，则R>R；③x，y之间不能建立线性回归方程．所有正确命题的序号为________．

第3题图

①②　解析：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1e拟合比用＝x＋拟合效果要好，则R>R，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．故答案为①②．

4．一只昆虫的产卵数y与温度x有关，现收集了6组观测数据如下表．

由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线y＝c1·e的周围．令z＝ln y，经计算有：

(1)试建立z关于x的经验回归方程并写出y关于x的经验回归方程＝c1·e；

(2)若通过人工培育且培育成本g(x)与温度x和产卵数y的关系为g(x)＝x·(ln y－9.97)＋180(单位：万元)，则当温度为多少时，培育成本最小？

注：对于一组具有线性相关关系的数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程＝·u＋的斜率和截距的最小二乘公式分别为＝，＝－·．

解：(1)由y＝c1·e得ln y＝c2x＋ln c1．

令z＝ln y，得z＝c2x＋ln c1．

由表格，得(xi－)(zi－)＝izi－6＝526.60－26×19.50＝19.6．

∴c2＝＝0.28．又＝c2＋ln c1，

∴ln c1＝－0.28×26＝－4.03．

∴z＝0.28x－4.03＝ln ，∴＝e0.28x－4.03．

(2)g(x)＝x(0.28x－4.03－9.97)＋180＝0.28x2－14x＋180＝0.28(x－25)2＋5，即x＝25时，g(x)取最小值．

答：温度为25 ℃时，培育成本最小．

5．如图是某创业公司2021年每月公司利润(单位：百万元)情况的散点图．

第5题图

为了预测该公司2021年的利润情况，根据图中数据，建立了利润y与月份x的两个线性回归模型：①＝0.94＋0.028；②＝0.96＋0.032ln x，并得到以下统计值：

(1)请利用决定系数R2判断哪个模型的拟合效果更好；

(2)为了激励员工工作的积极性，公司每月会根据利润的情况进行奖惩，假设本月利润为y1，而上一月利润为y2，计算z＝并规定：若z≥10，则向全体员工发放奖金总额z元；若z＜10，从全体员工每人的工资中倒扣10－z元作为惩罚，扣完为止．请根据(1)中拟合效果更好的回归模型，预测2022年4月份该公司的奖惩情况．(结果精确到小数点后两位)

参考数据及公式：≈1.73，≈2.24，ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61．决定系数R2＝1－．

解：(1)设模型①，②的决定系数分别为R，R，

则R＝1－≈0.902 314，

R＝1－≈0.972 89．

因为R<R，所以模型②＝0.96＋0.032ln x的拟合效果更好．

(2)由(1)知，模型②＝0.96＋0.032ln x的拟合效果更好．

则2022年4月份公司的利润的预报值为：1＝0.96＋0.032ln 16＝0.96＋0.032×4×ln 2≈1.048 32(百万元)，2022年3月份公司的利润的预报值为：2＝0.96＋0.32ln 15＝0.96＋0.032(ln 3＋ln 5)≈1.046 72(百万元)．所以z＝0.1y1＋0.5×(y1－y2)＝0.104 832＋0.5×0.001 6＝0.105 632(百万元)≈10.56万元．

因为z≥10，所以，预测2022年4月份公司应该向全体员工发放10.56万元的奖金总额．