(练习)10 课时分层训练(八) 二项式系数的性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

课时分层训练(八)　二项式系数的性质 1．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 D　解析：因为C＝C，所以n＝4．令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256．故选D． 2．在(1－x)201的展开式中，系数的最大值是(　　) A．C B．C C．C D．C B　解析：二项式系数最大的项是第101项和第102项．因为T101＝Cx100，T102＝－Cx101＝－Cx101，且第102项的系数为负，所以第101项的系数最大，为C．故选B． 3．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则(　　) A．n＝7 B．所有项的系数和为0 C．偶数项的系数和为－64 D．展开式的中间项为－35x3和35x4 ABC　解析：由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．所有项的系数和为0，偶数项的系数和为－64．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4·(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3．故选ABC． 4．若(x＋3y)n的展开式中的系数之和等于(7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 A　解析：(7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210．对于(x＋3y)n，令x＝1，y＝1，则由题意，知4n＝210，解得n＝5． 5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 B　解析：设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1． 分别令x＝1，x＝－1，得 两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝． 由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3． (1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大． 6．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) A． B． C． D． A　解析：a＝C＝70，设b＝C2k，则 解得5≤k≤6， 所以b＝C×26＝C×25＝1 792，所以＝． 7．若的展开式的二项式系数之和为8，则n＝______，其展开式中含的项的系数为______．(用数字作答) 3　－1　解析：由题意得，2n＝8，所以n＝3．根据题意知的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx9－3r·(－x－1)r＝(－1)rCx9－4r，其中r＝0，1，2，3．令9－4r＝－3，得r＝3，回代，得T4＝－Cx－3＝－x－3，即展开式中含的项的系数为－1． 8．已知的展开式的二项式系数之和为256． (1)求n的值； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n展开式中系数的最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况． 解：(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8． (2)设常数项为第k＋1项，则 Tk＋1＝Cx8－k＝Cmkx8－2k． 令8－2k＝0，即k＝4，则Cm4＝， 解得m＝±． (3)易知m>0，设第k＋1项系数最大． 则 化简可得≤k≤． 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以即 所以m只能等于2． 1．若的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第8项和第9项 D．第11项和第12项 D　解析：由题意T8＝C()n－7·＝Cx为常数项，故n＝21，则展开式中系数最大的项是第11项和第12项． 2．已知(x2＋1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 C　解析：在展开式中，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a11＋a12＝0．令x＝1，得a12＝2，∴a0＋a1＋…＋a11＝－2．故选C． 3．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　) A．第9项 B．第8项 C．第7项 D．第6项 B　解析：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项． 4．在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　) A．330 B．462 C．682