(练习)9 课时分层训练(七) 二项式定理-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

课时分层训练(七)　二项式定理 1．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．－5 C．10 D．5 C　解析：展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5－k·＝(－1)kCx10－3k．令10－3k＝4，得k＝2，所以T3＝(－1)2Cx4＝10x4．故含x4的项的系数是10． 2．在(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有(　　) A．4项 B．3项 C．2项 D．1项 B　解析：(＋)12的展开式的通项为Tk＋1＝C·()12－k()k＝Cx (0≤k≤12，k∈N)，当6－(0≤k≤12，k∈N)为正整数时，k＝0或k＝6或k＝12，故含x的正整数次幂的项共有3项． 3．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________． x5－1　解析：注意逆用二项式定理即可．原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． 4．用二项式定理展开(2x－1)4＝_____________________________． 16x4－32x3＋24x2－8x＋1　解析：(2x－1)4＝C(2x)4(－1)0＋C(2x)3(－1)1＋C(2x)2(－1)2＋C(2x)1(－1)3＋C(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1． 5．的展开式中常数项是________．(用数字作答) 240　解析：∵的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)6－r·＝C·x12－2r2r·x－r＝C2r·x12－3r． 令12－3r＝0，解得r＝4． ∴的展开式中常数项是C×24＝C×16＝15×16＝240．故答案为240． 6．如果的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________． 8　28　解析：Tk＋1＝C()n－k＝Cx．由题意知，k＝2时，＝2，所以n＝8，此时该项的系数为C＝28． 7．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________． 207　解析：x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果， ∴其系数为C＋C×(－1)＝207． 8．若展开式中的常数项是70，则n＝________． 4　解析：＝的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·x2n－2k， 令2n－2k＝0，得n＝k，故展开式的常数项为 (－1)n·C＝70，解得n＝4． 9．求的展开式中第3项的系数和常数项． 解：T3＝C(x3)3＝C·x5，所以第3项的系数为C×＝． 通项Tk＋1＝C(x3)5－k＝·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·＝． 10．已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除． 证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． 1．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 B　解析：x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6． 2．在(－2)5的展开式中，含x2的项的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 C　解析：(－2)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝(－2)rCx， 令＝2，可得：r＝1，则含x2的项的系数为(－2)1C＝(－2)×5＝－10． 3．二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为(　　) A．64 B．32 C．24 D．16 B　解析：二项式(1＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx，令为整数，可得k＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32． 4．设的展开式中x3的系数为a，则a的值为________． 60　解析：的展开式的通项公式是 Tk＋1＝Cx6－k＝C(－2)kx． 令6－＝3，解得k＝2， 因此x3的系数为a＝C×(－2)2＝60． 5．已知3×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为________． 8　解析：根据题意，3×1010＋a＝3×(11－1)10＋a，由于3×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，根据二项式定理展开式可知，3×(11－1)10被11除的余数为3，从而可知3＋a能被11整除，可知a＝8． 6．对于二项式 (n∈N*)，有以下四种判断： ①存在n∈N*，展开式中有常数项； ②对任意n∈N*，展