(练习)2 课时分层训练(二) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

课时分层训练(二)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

1．某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)

A．6种  B．7种  C．8种  D．9种

D　解析：可按女生人数分类：若选派1名女生，有2×3＝6(种)；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．

2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)

A．3  B．4  C．6  D．8

D　解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9．把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．

3．由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有(　　)

A．36个  B．42个  C．48个  D．120个

B　解析：根据五位偶数的个位数字为0或2分两类：①若五位数的个位数字是0，则有n1＝4×3×2×1＝24(种)情形；②若五位数的个位数字是2，由于万位不能为0，因此只有1，3，5，共3种情形，中间的三个位置有3×2×1＝6(种)情形，依据分步乘法计数原理可得n2＝3×6＝18(种)情形．由分类加法计数原理可得，所有无重复数字的五位偶数的个数为n＝n1＋n2＝24＋18＝42．故选B．

4．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，

要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)

第4题图

A．96  B．84  C．60  D．48

B　解析：方法一：分为两类．

第一类：当花坛A，C中花相同时，有4×3×1×3＝36(种)．

第二类：当花坛A，C中花不同时，有4×3×2×2＝48(种)．

共有36＋48＝84(种)．故选B．

方法二：分为四步．

第一步：考虑A，有4种；

第二步：考虑B，有3种；

第三步：考虑C，有两类，一是A与C相同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法是2种，此时第四步D的选法也是2种．

共有4×3×(1×3＋2×2)＝84(种)．

5．中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．将五种属性不同的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为(　　)

A．8  B．10  C．15  D．20

B　解析：根据题意，就是在5个位置上排列属性分别为“金、木、水、火、土”的五种物质，要满足题设条件，可以分五个步骤完成：第1个位置有5种选择，不妨假设是属性为金的物质，则第2个位置只能从属性为土或水的物质中选一种，故有2种选择，不妨假设选择的是属性为水的物质，那么第3个位置只能

选择属性为木的物质，第4个位置只能选择属性为火的物质，第5个位置只能选择属性为土的物质．由分步乘法计数原理可得，排法种数为5×2×1×1×1＝10．故选B．

6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．

20　解析：分三类：若甲在周一，则乙、丙有4×3＝12(种)排法；

若甲在周二，则乙、丙有3×2＝6(种)排法；

若甲在周三，则乙、丙有2×1＝2(种)排法．

所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20(种)．

7．成都市的出租车车牌号规定为“川A·T××××”的格式，其中后四位为数字，那么成都市最多可以有________辆出租车．

104　解析：后面四位每一位都可以在0～9这10个数字中任选1个数，且可以重复，故一共可以组成10×10×10×10＝104(个)车牌号，即最多有104辆出租车．

8．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________．(用数字作答)

24　解析：方法一：首先从4个公司中选出一个作为甲、乙两名大学生的相同实习单位，共4种情况；然后甲从其他的3个公司中选择一个作为第二个实习单位，共3种情况；最后乙从剩下的2个公司中选择一个作为第二个实习单位，共2种情况．根据分步乘法计数原理，选法种数是4×3×2＝24．

方法二：根据题意，分两步进行分析：

第1步，甲大学生选实习单位，有C＝6种方法；

第2步，乙大学生选实习单位，先在甲选中的两个实习单位中选一个，再在甲没选中的两个实习单位中选一个，有C×C＝4种方法．