(教用word)第6章 6.3 6.3.2 二项式系数的性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

6.3.2　二项式系数的性质 学习任务目标 1．了解二项式系数的性质，并能解决简单的问题．(数学抽象) 2．能用赋值法解决与二项式系数有关的问题．(数学运算) (1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*． (2)(x＋2)8的展开式中的第6项为1 792x3，其二项式系数为56． 知识点一　二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C． (2)增减性与最大值：当k＜时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k＞时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项C取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值． [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C． (×) (2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． (×) (3)二项展开式的项的系数是先增后减的． (×) 2．的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第8项 C．第5，6项 D．第6，7项 D　解析：由n＝11为奇数，则展开式中C与C相等，且同时取得最大值，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 知识点二　二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． [微训练] 1．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1 B．－1 C．215 D．315 B　解析：令x＝1，即得各项系数和，所以各项系数和为－1． 2．若(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 B　解析：由题意知(1＋1)n×(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9．故选B． 二项式系数性质的简单应用 【例1】 在的二项展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M＋N＝72，则展开式中常数项为(　　) A．18 B．12 C．9 D．6 C　解析：令x＝1，可得各项系数之和M＝(1＋3)n＝4n，各项二项式系数之和N＝2n，而M＋N＝4n＋2n＝72，解得n＝3．所以＝．其展开式的通项为Tk＋1＝C()3－k＝3kCx．令－k＝0，得k＝1，可得展开式中的常数项为T2＝31C＝9．故选C． 【例2】 若的展开式中各项系数之和为729，则该展开式的二项式系数之和为________，x2项的系数为________． 64　160　解析：依题意，令x＝1，得3n＝729，则n＝6，所以二项式系数之和为26＝64．的展开式的通项是Tk＋1＝C·(2x)6－k·＝C·26－kx．令6－＝2，得k＝3．因此，在该二项式的展开式中，x2项的系数是C·26－3＝160． 【类题通法】 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 1．(多选)已知的展开式的第10项是常数，则(　　) A．n＝21 B．展开式的各项系数和为236 C．展开式的中二项式系数最大的项只有第18项 D．展开式中系数最大的项为第19项 BD　解析：T10＝C()n－9·＝Cx， 由T10为常数，得＝0，所以n＝36，展开式的各项系数和为236，且第19项的二项式系数及系数最大． 2．已知(a＋)n的展开式中奇数项的系数和为512，求展开式的第8项． 解：因为C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29， 所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a． 求展开式的系数和 关于展开式(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，回答下列问题． 探究1：如何对x赋值可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 020? 提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 020． 探究2：如何得到a0－a1＋a2－…－a2 019＋a2 020? 提示：令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a2 019＋a2 020． 探究3：将(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020与(1＋2x)2 020＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2 020x2 020对比，思考|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 020|与b0＋b1＋b2＋…＋b2 020有什么关系？ 提示：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 020|与b0＋b1＋b2＋…＋b2 020相等． 探究4：为了得到a1＋2a2＋…＋2 019·a2 019＋2 020a2 020的值，应如何