(教用word)第6章 6.3 6.3.1 二项式定理-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 学习任务目标 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式． 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题． (数学运算) (1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． (2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3． 知识点一　二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N* 二项展开式 等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式一共有n＋1项 二项式系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数 二项展开 式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，通项为展开式的第k＋1项 [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)n的展开式中共有n项． (×) (2)在二项式定理中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (×) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (×) 2．若的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．8 B　解析：因为的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10． 知识点二　某一项的二项式系数与项的系数 (1)二项式系数与项的系数是两个不同的概念． (2)二项式系数C只与二项式的指数及项数有关，它是一个组合数；而项的系数是指通项中除字母之外的部分，它与二项式和二项式系数都有关． [微训练] 1．(x－)10的展开式中含x6的项的二项式系数为(　　) A．－C B．C C．－4C D．4C B　解析：含x6的项为展开式中的第5项，所以二项式系数为C． 2．(x－3)5的展开式中第4项的系数是(　　) A．10 B．－10 C．540 D．－540 D　解析：由展开式的通项，得T4＝C·(x)2×(－3)3＝10×2x2×(－27)＝－540x2，所以第4项的系数为－540． 二项式定理的正用与逆用 1．化简：C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________． 1　解析：原式＝C2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋C2n－k·(－1)k＋…＋C20·(－1)n＝(2－1)n＝1． 2．化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC＝________． xn　解析：原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn． 3．求的展开式． 解：方法一：＝(3)4＋C(3)3×＋C(3)2＋C(3)＋C＝81x2＋108x＋54＋＋． 方法二：＝＝(1＋3x)4 ＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2． 【类题通法】 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 提醒：逆用二项式定理时，若项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 求展开式中的特定项 根据二项式定理探究下列关于的展开式的问题． 探究1：求展开式的通项． 提示：通项为Tk＋1＝Cx (－3)kx＝C(－3)kx． 探究2：若展开式的第6项为常数项，求n的值． 提示：若第6项为常数项，则k＝5时，有＝0，即n＝10． 探究3：在探究2的条件下，求含x2的项的系数，并指出该项的二项式系数． 提示：由探究2知Tk＋1＝C(－3)kx． 令＝2，得k＝2， 所以含x2的项的系数为C(－3)2＝405． 该项的二项式系数为C＝45． 探究4：在探究2的条件下，求此展开式中所有的有理项． 提示：由题意得 令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－r． 因为k∈Z，所以r应为偶数，r＝2，0，－2，即k＝2，5，8， 故二项展开式的所有有理项为 T3＝C(－3)2x2＝405x2， T6＝C(－3)5＝－61 236， T9＝C(－3)8x－2＝295 245x－2． 【例1】 若(n∈N*)的展开式中含有常数项，则n的最小值等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(x6)n－k＝Cx＝Cx． 令6n－k＝0 ，得n＝k．又n∈N*，所以当k＝